Матема́тика — точная формальная наука, первоначально исследовавшая количественные отношения и пространственные формы. В более современном понимании, это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории.
А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Общая алгебра — раздел математики, изучающий алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между такими структурами.
Число́ — одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.
Едини́ца — многозначное слово.
Ве́ктор — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве.
Коммутатор — многозначный термин.
Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.
Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.
Гомоло́гия :
- Гомология в алгебраической топологии — даёт возможность строить алгебраический объект, который является топологическим инвариантом пространства.
- Гомология в геометрии — проективное преобразование проективной плоскости на себя, которое оставляет неподвижными все точки некоторой прямой, называемой осью гомологии.
- Гомология в органической химии — структурная схожесть веществ и, как следствие, схожесть их свойств.
- Гомология в биологии — сопоставимость частей сравниваемых биологических объектов, обусловленная общностью происхождения.
- Гомология (антропология)
- Гомология (социология)
Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.
Ама́лия Э́мми Нётер — немецкий математик, наиболее известна своим вкладом в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль и Норберт Винер считали её величайшей женщиной в истории математики. В качестве одного из величайших математиков двадцатого века она коренным образом изменила теорию колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер впервые открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения.
Ко́мплекс — совокупность чего-либо, объединённого вместе.
Ба́зис Грёбнера — множество, которое порождает идеал заданного кольца многочленов, обладающее специальными свойствами.
Ефи́м Исаа́кович Зе́льманов — советский и американский математик, лауреат Филдсовской премии (1994), известный работами в области комбинаторных проблем неассоциативной алгебры и теории групп, в частности доказательством ослабленной гипотезы Бёрнсайда.
Разложе́ние — разрушение, распад сложного объекта на составляющие:
- В химии — реакции разложения
- В биологии, биохимии — разложение отмерших животных и растительных остатков под действием бактерий и грибов, см. «Биодеградация»
- Разложение человеческого тела изучает также судебная медицина, см. «Посмертные изменения»
Артиновость — свойство общеалгебраических структур, для которых выполнено условие обрыва убывающих цепей для подструктур определённого типа, упорядоченных по отношению включения. Некоторые такие структуры:
- Артинова группа — группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей для её подгрупп.
- Артиново кольцо — кольцо, которое удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для его идеалов.
- Артинов модуль — модуль, удовлетворяющий условию обрыва убывающих цепей для его подмодулей.
- Артинова схема.
- Артинов объект — объект категории, класс подобъектов которого удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей — наиболее общее определение для подобного рода структур в рамках общей алгебры.
