Алгебра Темперли — Либа

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы^[англ.]. Открыта Невиллом Темперли^[англ.] и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей^[англ.], имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент ${\displaystyle \delta \in R}$. Алгеброй Темперли — Либа ${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ называется ${\displaystyle R}$-алгебра образованная генераторами ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1}}$, подчиняющимися соотношениям Джонса:

• ${\displaystyle U_{i}^{2}=\delta U_{i}}$ при ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$
• ${\displaystyle U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}}$ при ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$
• ${\displaystyle U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}}$ при ${\displaystyle 2\leq i\leq n-1}$
• ${\displaystyle U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}}$ при ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n-1}$, таких что ${\displaystyle |i-j|\neq 1}$

${\displaystyle TL_{n}(\delta )}$ можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по ${\displaystyle n}$ точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов ${\displaystyle TL_{3}(\delta )}$ выглядят следующим образом:

.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель ${\displaystyle \delta }$. Например,

× = = δ .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор ${\displaystyle U_{i}}$ — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами ${\displaystyle TL_{5}(\delta )}$ являются:

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U₁, U₂, U₃, U₄.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

= δ

=

=

• Louis H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial. Архивная копия от 8 декабря 2019 на Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
• R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics Архивная копия от 20 марта 2012 на Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
• N. Temperley, E. Lieb, Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251—280.