Апейрогон

Апейрогон или бесконечноугольник (от др.-греч. ἄπειρος — бесконечный или безграничный и др.-греч. γωνία — угол) — обобщённый многоугольник со счётно-бесконечным числом сторон^[1].

Правильный апейрогон имеет стороны равной длины, как и любой другой правильный многоугольник. Его символ Шлефли — {∞}, диаграмма Коксетера — Дынкина — .

Правильный апейрогон разбивает плоскость на две полуплоскости, образуя апейрогональный диэдр^[англ.] {∞,2}. Внутренняя часть апейрогона может быть определена путём указания направления сторон.

Евклидовы мозаики

Правильные		Однородные
∞.∞	2∞	4.4.∞	3.3.3.∞
{∞, 2}	{2, ∞}	t{2, ∞}	sr{2, ∞}

Правильными апейрогонами можно считать прямые, состоящие из рёбер четырёх однородных мозаик и пяти мозаик, двойственных однородным, на евклидовой плоскости.

3 направления		1 направление	2 направления
Шеститреугольная мозаика	Треугольный паркет	Удлинённая треугольная мозаика	Квадратный паркет (кадриль)

3 направления		6 направлений	1 направление	4 направления
Тетрамозаика	Разделённая треугольная мозаика	Разделённая шестиугольная мозаика	Призматическая пятиугольная мозаика	Разделённая квадратная мозаика

Изогональный апейрогон имеет вершины одного типа и чередующиеся стороны двух типов (длин).

Квазиправильный апейрогон — изогональный апейрогон с равными длинами сторон.

Изотоксальный апейрогон является двойственным по отношению к изогональному. Он имеет один тип рёбер и два типа вершин и геометрически идентичен правильному апейрогону, что можно показать чередующейся раскраской вершин в два цвета.

Правильный	… …
Квазиправильный	… …
Изогональный[англ.]	… …
Изотоксальный[англ.]	… …

Правильные апейрогоны на плоскости Лобачевского имеют кривизну, также как и многоугольники с конечным числом сторон. Вокруг апейрогона на плоскости Лобачевского можно описать орицикл или эквидистанту (гиперцикл), аналогично тому, как вокруг многоугольника с конечным числом сторон может быть описана окружность.

Однородные мозаики из апейрогонов

3	4	5
{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}

Однородные мозаики из апейрогонов (продолжение)

6	7	8	…	∞
{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}		{∞,∞}

Правильные и однородные мозаики из апейрогонов

{∞, 3}	tr{∞, 3}	tr{12i, 3}
Правильный: {∞}	Квазиправильный: t{∞}	Квазиправильный: t{12i}

• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — New York: Dover Publications, 1973. — С. 121–122. — ISBN 0-486-61480-8.
• Grünbaum, B. Regular polyhedra — old and new, Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20
• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9. (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p, q}.

• 'Russell, Robert A.. Apeirogon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Olshevsky, George. Apeirogon  (неопр.). Glossary for Hyperspace. Архивировано 4 февраля 2007 года.