Аргумент Экманна — Хилтона

Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.

Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы $G$ абелевы. Например, для доказательства коммутативности $\pi _{1}(G,e)$ достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в $G$ и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.

Формулировка и доказательство теоремы

Пусть $(X,\circ )$ и $(X,\otimes )$ — две магмы с единицами $1_{\circ }$ и $1_{\otimes }$ , причём
$(a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)$ для всех $a,b,c,d\in X$ .
Тогда бинарные операции $\circ$ и $\otimes$ совпадают и, более того, являются коммутативными и ассоциативными.

Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: $1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }$ .

Далее, пусть $a,b\in X$ . Тогда $a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a$ . Таким образом, $\circ$ и $\otimes$ совпадают и являются коммутативными.

Наконец, проверим ассоциативность: $(a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)$ .

Литература

John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 89)
John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 100)
Eckmann, B.; Hilton, P. J. (1962), "Group-like structures in general categories. I. Multiplications and comultiplications", Mathematische Annalen, 145 (3): 227—255, doi:10.1007/bf01451367, MR 0136642.
Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, vol. 38, pp. 112—119, 521–528.
Brown, R.; Higgins, P. J.; Sivera, R. (2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, p. 703, arXiv:math/0407275, MR 2841564.
Higgins, P. J. (2005), "Thin elements and commutative shells in cubical $\omega$ -categories", Theory and Application of Categories, 14: 60—74, MR 2122826.
James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland
Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups

Похожие исследовательские статьи

Коммутативность, переместительный закон — свойство бинарной операции « $\text{[math]}$ », заключающееся в возможности перестановки аргументов:

\text{[math]}

для любых элементов

\text{[math]}

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат.

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции $\text{[math]}$ , заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы $\text{[math]}$ в произвольном порядке к элементам $\text{[math]}$ .

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной $\text{[math]}$ , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по $\text{[math]}$ . Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином.

Свёртка, конволюция — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах, и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений $\text{[math]}$ с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами перемножаемых пространств.

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим интересные для исследований свойства.

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях. Существует также F-коалгебра, имеющая важные приложения в информатике.

Моноидальная категория — категория C, снабженная бифунктором

⊗ : C × C → C,

Обогащённая категория в теории категорий — обобщение понятия категории, конструкция, в которой множество морфизмов между двумя объектами заменена на объект произвольной моноидальной категории. Использование такого понятия основано на наблюдении, что во многих практических приложениях множества морфизмов имеют дополнительную структуру. Для того, чтобы воспроизвести ассоциативную операцию композиции морфизмов в обычной категории, категория, из которой берутся морфизмы, должна иметь (ассоциативную) бинарную операцию с тождественным элементом, то есть как минимум иметь структуру моноидальной категории.

В теории категорий симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения «настолько коммутативна, насколько это возможно». В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изоморфизм $\text{[math]}$ , причём все эти изоморфизмы вместе образуют естественное семейство.

<span class="mw-page-title-main">Моноид (теория категорий)</span>

В теории категорий моноид $\text{[math]}$ в моноидальной категории $\text{[math]}$ — это объект M вместе с двумя морфизмами

$\text{[math]}$ ,
и $\text{[math]}$ ,

Произведение Адамара — бинарная операция над двумя матрицами одинаковой размерности, результатом которой является матрица той же размерности, в которой каждый элемент с индексами $\text{[math]}$ — это произведение элементов с индексами $\text{[math]}$ исходных матриц. Операция названа в честь французского математика Жака Адамара и немецкого математика Исая Шура.

Тест ассоциативности — проверка бинарной операции на ассоциативность. Наивная процедура проверки, заключающаяся в переборе всех возможных троек аргументов операции, требует $\text{[math]}$ времени, где $\text{[math]}$ — размер множества, над которым определена операция. Ранние тесты ассоциативности не давали асимптотических улучшений по сравнению с наивным алгоритмом, однако позволяли улучшить время работы в некоторых частных случаях. Например, Роберт Тарьян в 1972 году обнаружил, что предложенный в 1949 году тест Лайта позволяет выполнить проверку за $\text{[math]}$ , если исследуемая бинарная операция обратима. Первый вероятностный тест, улучшающий время работы с $\text{[math]}$ до $\text{[math]}$ , был предложен в 1996 году Шридхаром Раджагопаланом и Леонардом Шульманом. В 2015 году был предложен квантовый алгоритм, проверяющий операцию на ассоциативность за время $\text{[math]}$ , что является улучшением по сравнению с поиском Гровера, работающим за $\text{[math]}$ .

Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.