А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
Великая теорема Ферма́ — одна из самых популярных теорем математики. Сформулирована французским математиком Пьером Ферма в 1637 году. Несмотря на простоту формулировки, буквально, на «школьном» арифметическом уровне, доказательство теоремы искали многие математики на протяжении более трёхсот лет. И только в 1994 году теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом с коллегами; публикация доказательства состоялась в 1995 году.
Пьер де Ферма́ — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Один из величайших математиков всех времён. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма, «самой знаменитой математической загадки всех времён».
Диофа́нт Александри́йский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.
Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса, а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии для вычисления одних элементов треугольника по данным о других его элементах.
Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида
Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.
Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий:
Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н. э. индийские учёные подняли античную математику на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр, заложили основы десятичной арифметики, комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.
Учёные исламского мира эпохи расцвета мусульманской цивилизации значительно способствовали развитию математики, обогащая её новыми открытиями и усовершенствованиями. Они не только собрали, перевели и сохранили работы своих предшественников, но и внесли собственные инновации. В области арифметики они усовершенствовали десятичную систему, включив в неё десятичные дроби и разработав эффективные процедуры для вычислений. Способствовали распространению десятичной системы счисления. Они первыми систематизировали алгебру, получившую от арабского языка современное название, и составили её в организованной научной манере. Заложили основы алгебраической геометрии. Разработали численные методы для извлечения корней, суммирования рядов и решения уравнений. Расширили исследования в тригонометрии, выделив её в отдельную науку, отделив от астрономии. Достигли успехов в изучении плоских и сферических треугольников и определении тригонометрических функций. Исламские математики также внесли вклад в евклидову геометрию, теорию чисел и комбинаторику. Их работы использовались в европейских университетах в качестве учебных пособий вплоть до конца эпохи Возрождения.
Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн ал-Хусайн ал-Караджи — персидский математик, выходец из города Карадж. Работал в Рее и Исфахане при тюркской империи Газневидов.
Деся́тая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода определения разрешимости произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.
Основа́ния матема́тики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы.
История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом. Арифметика — наука о числах, их свойствах и отношениях — является одной из основных математических наук. Она тесно связана с алгеброй и теорией чисел.
Под неперовым логарифмом, как правило, понимают натуральный логарифм. Сам Джон Непер, имя которого носит функция, описал функцию, не совпадающую с современным натуральным логарифмом. Поэтому под неперовым логарифмом могут понимать и ту функцию, которую он использовал:
Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике – это доказательство несуществования в теории чисел, единственное полное доказательство, оставленное Пьером Ферма. Теорема имеет несколько эквивалентных формулировок:
- Если три квадратных числа образуют арифметическую прогрессию, то шаг прогрессии не может быть квадратом.
- Не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки.
- Прямоугольный треугольник, у которого длины всех трёх сторон являются рациональным числом, не может иметь площадь, равную квадрату рационального числа. Площадь, определённая таким образом, называется конгруэнтным числом, так что никакое конгруэнтное число не может быть квадратом.
- Прямоугольный треугольник и квадрат с одинаковой площадью не могут иметь соизмеримые стороны.
- Единственными рациональными точками на эллиптической кривой
являются три тривиальные точки (0,0), (1,0) и (−1,0). - Диофантово уравнение
не имеет целых решений.
Тимарид — древнегреческий математик, пифагореец, известный математической деятельностью, связанной с простыми числами и системами линейных алгебраических уравнений. Иногда его имя записывается как Фимарид.
Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов :
Медиафайлы на Викискладе
