Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.
Коммутативная алгебра — раздел общей алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов, в частности теорию полей. Коммутативная алгебра является основой алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Наиболее яркие примеры коммутативных колец, изучаемых коммутативной алгеброй — кольца многочленов и кольца целых алгебраических чисел.
Ама́лия Э́мми Нётер — немецкий математик, наиболее известна своим вкладом в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль и Норберт Винер считали её величайшей женщиной в истории математики. В качестве одного из величайших математиков двадцатого века она коренным образом изменила теорию колец, полей и алгебр. В физике теорема Нётер впервые открыла связь между симметрией в природе и законами сохранения.
Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.
Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль 
артинов, если всякая последовательность его подмодулей:
Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.
Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
В коммутативной алгебре идеал Q коммутативного кольца A называется примарным, если он не совпадает со всем кольцом, и для любого элемента Q вида xy либо x, либо yn для некоторого n>0 также является элементом Q. Например, в кольце целых чисел Z идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид (pn), где p — простое число.
Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.
Полупростые модули — общеалгебраические модули, которые можно легко восстановить по их частям. Кольцо, являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом. Важный пример полупростого кольца — групповое кольцо конечной группы над полем характеристики ноль. Структура полупростых колец описывается теоремой Веддербёрна — Артина: все такие кольца являются прямыми произведениями колец матриц.
В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.
Нётеровость — свойство математического объекта, сходное со свойством обрыва возрастающих цепей для частично упорядоченных множеств. Объект называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для его подобъектов определённого типа, упорядоченных по отношению включения.
- Нётерова группа — группа, удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей для её подгрупп.
- Нётерово кольцо — кольцо, которое удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для его идеалов.
- Нётеров модуль — модуль, удовлетворяющий условию обрыва возрастающих цепей для его подмодулей.
- Нётерово топологическое пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей для его замкнутых подмножеств. Причина изменения терминологии следующая: данное условие наиболее часто рассматривают для топологических пространств, являющихся спектром некоторого кольца. В этом случаю каждому замкнутому множеству соответствует некоторый идеал, при этом соответствии порядок по включению обращается.
- Нётерова индукция — обобщение трансфинитной индукции на произвольные частично упорядоченные множества, удовлетворяющие условию обрыва убывающих цепей.
- Нётерова схема
- Нётеров объект — объект категории, класс подобъектов которого удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей — наиболее общее определение для подобного рода структур в рамках общей алгебры.
Нётерово простра́нство — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств 
пространства X такой, что:
Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов. Другими словами, это (непустое) конечное множество 
, на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.
Артиновость — свойство общеалгебраических структур, для которых выполнено условие обрыва убывающих цепей для подструктур определённого типа, упорядоченных по отношению включения. Некоторые такие структуры:
- Артинова группа — группа, удовлетворяющая условию обрыва убывающих цепей для её подгрупп.
- Артиново кольцо — кольцо, которое удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для его идеалов.
- Артинов модуль — модуль, удовлетворяющий условию обрыва убывающих цепей для его подмодулей.
- Артинова схема.
- Артинов объект — объект категории, класс подобъектов которого удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей — наиболее общее определение для подобного рода структур в рамках общей алгебры.
