Асимптотически эквивалентные системы

Асимптотически эквивалентными системами называются системы дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x)\quad (1)}$

и

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(t,y)\quad (2)}$

если между их решениями ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0.\quad (3)}$

Пусть решения системы

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (4)}$

где ${\displaystyle A}$ — постоянная ${\displaystyle (n\times n)}$-матрица, ограничены на ${\displaystyle [0,\infty )}$. Тогда система

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y}$,

где ${\displaystyle B(t)\in C[0,\infty )}$и ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty }$ асимптотически эквивалентна системе ${\displaystyle \quad (4)}$.

В представленной выше формуле ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ обозначает норму матрицы.

• Теорема Левинсона

1. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений.  (рус.)(рус.)
2. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб., № 61 (103):1 1963, С 13-39.  (рус.)(рус.)
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.  (рус.)(рус.)