Ассоциативность (математика)

Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции ${\displaystyle \circ }$, заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы ${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$ в произвольном порядке к элементам ${\displaystyle x,\;y,\;z}$.

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:

• сложение комплексных чисел: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• умножение комплексных чисел: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
• композиция функций: ${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)}$

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}$.

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют коммутативные магмы^[англ.] с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, неассоциативные алгебры^[англ.]. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на ${\displaystyle n}$-арный случай: операция ${\displaystyle \varphi \colon X^{n}\to X}$ называется ассоциативной, если для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ имеет место тождество:

${\displaystyle \varphi (\varphi (x_{1},\dots ,x_{n}),x_{n+1},\dots ,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\dots ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\dots ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\dots ,x_{2n-1})}$.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность, эластичность^[англ.] — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

• Ассоциативность — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.