Линейный функционал
называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1)
[Примечание 1]
2)
для любых 
3)
для любого
, где
— оператор сдвига, действующий следующим образом: 
Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом[1]. Из определения следует, что
и
, если последовательность
сходится. Множество банаховых пределов обозначается как
.
— выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства
. Из неравенства треугольника следует, что для любых
справедливо неравенство
. Если
и
являются крайними точками множества
, то
[2].
Лемма 1
Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если
, то
[3].
Теорема 1
Функционал
можно представить в виде
(
) тогда и только тогда, когда
для всех 


Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы
[3].
Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

Используя свойства 1.—3. получаем:

Для

справедливо, что
,значит
— банахов предел. То же самое верно для функционала
. По построению
. Докажем единственность такого представления при
. Пусть
при
.



Выше доказано, что
, аналогичные рассуждения показывают, что
. По лемме 1 получаем

Теорема доказана[3].
Понятие почти сходимости
Для заданных
,
, для любых 

равномерно по
[4]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом[5]:

Последовательность
называется почти сходящейся к числу
, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны
. Используется следующее обозначение:
. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение
.
— линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в
. Множество почти сходящихся к числу
последовательностей обозначается как
. Ясно, что
для любого
[3].
Пример
Последовательность
не имеет обычного предела, но
. Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности:
.

Также можно будет использовать следующую лемму:
Лемма 2
Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду [3].
Характеристические функции
Системой Радемахера называется последовательность функций
![{\displaystyle r_{n}(t)=\operatorname {sgn} \sin(2^{n}\pi t)\quad n\in \mathbb {N} \quad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14809b30e75bc478f890456746de6f2207f3244c)
Каждому
можно поставить в соответствие функцию

которая называется характеристической функцией банахова предела
.
— комплекснозначная функция[6].
Теорема 2
Если
и
для всех
, то
для всех
[6].
Свойства характеристических функций
Пусть
, тогда
периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из 
для любых 
, что
для любого
и ![{\displaystyle Im\,f_{B}=[-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dc860208a538b0d50b5dc009a67348de7e179c)
- график
плотен в прямоугольнике ![{\displaystyle [0,1]\times [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8999cadf039dce6afa3408be1cbbd6bf1c673505)
для всех 
[6]
Источники
Примечания
- ↑ Здесь и далее под
понимается последовательность 
Литература
- Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
- Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
- E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
- Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
- Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
- Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)