Банаховы пределы

Линейный функционал ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } \in l_{\infty }^{*}}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) ${\displaystyle B(\mathbf {1} )=1}$^{[Примечание 1]}

2) ${\displaystyle B\geq 0}$ для любых ${\displaystyle x\geq 0}$

3) ${\displaystyle B(Tx)=B(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ , где ${\displaystyle T}$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)}$

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом^[1]. Из определения следует, что ${\displaystyle \|B\|_{l_{\infty }^{*}}=1}$ и ${\displaystyle B(x_{1},x_{2},...)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$, если последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства ${\displaystyle l_{\infty }^{*}}$. Из неравенства треугольника следует, что для любых ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|\leq 2}$. Если ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ являются крайними точками множества ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|=2}$^[2].

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если ${\displaystyle B_{1}(x)\leq B_{2}(x)\quad \forall x\in l_{\infty }\quad x\geq 0}$, то ${\displaystyle B_{1}(x)=B_{2}(x)}$ ^[3].

Функционал ${\displaystyle f\in l_{\infty }^{*}}$ можно представить в виде ${\displaystyle f=B_{1}-B_{2}}$ (${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$) тогда и только тогда, когда

1. ${\displaystyle f(Tx)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$
2. ${\displaystyle f(\mathbf {1} )=1}$
3. ${\displaystyle \|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 2}$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \|f\|_{l_{\infty }^{*}}=2}$ ^[3].

Доказательство

Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

${\displaystyle g=\max(f,0)=\sup _{0\leq u\leq x}f(u)\quad g\in l_{\infty }^{*}\quad g\geq 0\quad \forall x\leq 0}$

Используя свойства 1.—3. получаем:

${\displaystyle g(\mathbf {1} )=\sup _{0\leq u\leq \mathbf {1} }f(u)=\sup _{0\leq u+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \leq \mathbf {1} }f(u+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} )=\sup _{-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \leq u\leq {\frac {1}{2}}\mathbf {1} }(f(u)+{\frac {1}{2}}f(\mathbf {1} ))=\sup _{\left|u\right|\leq {\frac {1}{2}}\mathbf {1} }f(u)={\frac {1}{2}}\|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 1}$ Для ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ справедливо, что ${\displaystyle B_{1}=g+(1-{\frac {\|f\|}{2}})B\geq 0\qquad B_{1}(Tx)=B_{1}(x)\qquad B_{1}(\mathbf {1} )=1}$,

значит ${\displaystyle B_{1}}$ — банахов предел. То же самое верно для функционала ${\displaystyle B_{2}=B_{1}-f=g-f+(1-{\frac {\|f\|}{2}})B}$. По построению ${\displaystyle B_{1}-B_{2}=f}$. Докажем единственность такого представления при ${\displaystyle \|f\|=0}$. Пусть ${\displaystyle f=B_{1}-B_{2}}$ при ${\displaystyle \|f\|=0}$.

${\displaystyle B_{1}=f+B_{2}\quad B_{2}=f-B_{1}}$
${\displaystyle B_{1}\geq 0\quad B_{1}\geq 0\Rightarrow B_{1}\geq f\quad B_{2}\geq f}$
${\displaystyle B_{1}\geq \max(f,0)\quad B_{2}\geq \max(-f,0)}$

Выше доказано, что ${\displaystyle max(f,0)\in {\mathfrak {B}}}$, аналогичные рассуждения показывают, что ${\displaystyle max(-f,0)\in {\mathfrak {B}}}$. По лемме 1 получаем

${\displaystyle B_{1}=\max(f,0)\quad B_{2}=\max(-f,0)}$

Теорема доказана^[3].

Для заданных ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{1}}$ , ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$, для любых ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } \in {\mathfrak {B}}}$

${\displaystyle B(x)=a\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}=a}$

равномерно по ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ^[4]. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом^[5]:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\inf _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}\leq B(x)\leq \lim _{n\to \infty }\sup _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}}$

Последовательность ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ называется почти сходящейся к числу ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{1}}$, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны ${\displaystyle a}$. Используется следующее обозначение: ${\displaystyle Lim\,x_{k}=a}$. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение ${\displaystyle ac}$. ${\displaystyle ac}$ — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в ${\displaystyle l_{\infty }}$ . Множество почти сходящихся к числу ${\displaystyle s}$ последовательностей обозначается как ${\displaystyle ac_{s}}$. Ясно, что ${\displaystyle ac_{s}\subset ac}$ для любого ${\displaystyle s}$ ^[3].

Последовательность ${\displaystyle x=(1,0,1,0,...)}$ не имеет обычного предела, но ${\displaystyle Lim\,x={\frac {1}{2}}}$ . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: ${\displaystyle x_{k}=1-x_{k+1}}$ .

${\displaystyle Lim\,x_{k}=Lim\,(\mathbf {1} -x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_{k}}$

Также можно будет использовать следующую лемму:

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду ^[3].

Системой Радемахера называется последовательность функций

${\displaystyle r_{n}(t)=\operatorname {sgn} \sin(2^{n}\pi t)\quad n\in \mathbb {N} \quad t\in [0,1]}$

Каждому ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ можно поставить в соответствие функцию

${\displaystyle f_{B}(t)=B(r_{n}(t))}$

которая называется характеристической функцией банахова предела ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle f_{B}}$ — комплекснозначная функция^[6].

Если ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle f_{A}(t)\leq f_{B}(t)}$ для всех ${\displaystyle t\in (0,1)}$ , то ${\displaystyle A=B}$ для всех ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ ^[6].

Пусть ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ , тогда

1. ${\displaystyle f_{B}(t)}$ периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из ${\displaystyle (0,1)}$
2. ${\displaystyle f_{B}(t)=f_{B}({\frac {t}{2}})}$ для любых ${\displaystyle t\in (0,1)}$
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]\,\exists \,x\in 2^{\mathbb {N} }\cap ac}$ , что ${\displaystyle B(x)=\lambda }$ для любого ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle Im\,f_{B}=[-1,1]}$
4. график ${\displaystyle f_{B}}$ плотен в прямоугольнике ${\displaystyle [0,1]\times [-1,1]}$
5. ${\displaystyle f_{B}(t)+f_{B}(1-t)=0}$ для всех ${\displaystyle t\in (0,1)}$

^[6]

• Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
• Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
• E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
• Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
• Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
• Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)