Биалгебра

Биалгебра — векторное пространство над полем, которое одновременно является унитальной ассоциативной алгеброй и коунитальной коассоциативной коалгеброй, так что алгебраическая и коалгебраическая структуры согласованы. А именно, коумножение и коединица являются гомоморфизмами унитальной алгебры, или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры (эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами).

Гомоморфизм биалгебр — это линейное отображение, которое является одновременно гомоморфизмом соответствующих алгебр и коалгебр. Из симметрии коммутативных диаграмм видно, что определение биалгебры является самодвойственным, поэтому, если возможно определить двойственное пространство к векторному пространству, на котором строится биалгебра (что всегда возможно, если оно конечномерно), то оно автоматически является биалгеброй.

Биалгеброй ${\displaystyle (B,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )}$ с умножением ${\displaystyle \nabla }$, единицей ${\displaystyle \eta }$, коумножением ${\displaystyle \Delta }$ и коединицей ${\displaystyle \epsilon }$ над полем ${\displaystyle K}$ называется алгебраическая структура, обладающая следующими свойствами:

• ${\displaystyle B}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle K}$;
• заданы умножение, то есть линейное отображение ${\displaystyle \nabla }$: ${\displaystyle B\otimes B\rightarrow B}$ над полем ${\displaystyle K}$ (или, что эквивалентно, полилинейное отображение ${\displaystyle \nabla }$: ${\displaystyle B\times B\rightarrow B}$ над полем ${\displaystyle K}$) и единица, то есть линейное отображение ${\displaystyle \eta }$: ${\displaystyle K\rightarrow B}$, так что ${\displaystyle (B,\nabla ,\eta )}$ является унитальной ассоциативной алгеброй;
• заданы коумножение, то есть линейное отображение ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle B\rightarrow B\otimes B}$ над полем ${\displaystyle K}$, и коединица, то есть линейное отображение ${\displaystyle \epsilon }$: ${\displaystyle B\rightarrow K}$, так что ${\displaystyle (B,\Delta ,\epsilon )}$ является коунитальной коассоциативной коалгеброй;
• выполняются условия совместимости, выраженные следующими коммутативными диаграммами:

1. согласованы умножение ${\displaystyle \nabla }$ и коумножение ${\displaystyle \Delta }$^[1]

   

   где ${\displaystyle \tau }$: ${\displaystyle B\otimes B\rightarrow B\otimes B}$ является линейным отображением, определенным как ${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x}$ для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle B}$,

2. согласованы умножение ${\displaystyle \nabla }$ и коединица ${\displaystyle \epsilon }$

   

3. согласованы коумножение ${\displaystyle \Delta }$ и единица ${\displaystyle \eta }$^[2]

   

4. согласованы единица ${\displaystyle \eta }$ и коединица ${\displaystyle \epsilon }$

   

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.