Бидуга

Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены ^[1] для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой^[2], требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

У бидуги зависимость ${\displaystyle k(s)}$ кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью^[3].

На рис. 1 показаны шесть бидуг ${\displaystyle AJB}$. Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — начальная и конечная точки кривой, ${\displaystyle J}$ (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.

У кривых 1, 2 и 6 точка ${\displaystyle J}$ является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на - у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ длины ${\displaystyle \;2c=|AB|}$, в которой координаты начальной и конечной точек равны ${\displaystyle A=(-c,0),\;\;B=(c,0)}$.

Ориентированные углы наклонов касательных в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, измеренные относительно направления хорды ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$, обозначены ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Так, у бидуги 1 на рис. 1 ${\displaystyle \;\alpha >0,\;\beta >0}$, а у бидуг 2-6 — ${\displaystyle \;\alpha >0,\;\beta <0}$.

Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\quad \beta =-30^{\circ }.}$ Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи^[4]. Параметр семейства обозначен ${\displaystyle p}$. Обозначение бидуги в виде ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ подразумевает фиксацию констант, то есть ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$.

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар ${\displaystyle \{\alpha ,\beta \}.}$

Углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ считаются определёнными в диапазоне ${\displaystyle [-\pi ;\,\pi ]}$: ${\displaystyle -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi }$, ${\displaystyle -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi }$. Построение бидуги возможно при

${\displaystyle \qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)}$

Введём обозначения

${\displaystyle \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}},\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$.

Неравенства (1) означают, что ${\displaystyle \;\sin \omega \not =0}$.

Кривизна ${\displaystyle k_{1}}$ первой дуги ${\displaystyle (AJ)}$ и кривизна ${\displaystyle k_{2}}$ второй дуги ${\displaystyle (JB)}$ выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

${\displaystyle k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).}$

Пусть

• ${\displaystyle \theta _{1}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ — поворот и длина дуги ${\displaystyle AJ}$:    ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}$;
• ${\displaystyle \theta _{2}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ — поворот и длина дуги ${\displaystyle JB}$:    ${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}$.

Справедливы равенства

${\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\right).}$

Точки сопряжения ${\displaystyle J}$ двух дуг расположены на окружности

${\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)}$

Эта окружность выходит из точки ${\displaystyle A}$ под углом ${\displaystyle \gamma }$ и проходит через точку ${\displaystyle B.}$ При ${\displaystyle \gamma =0}$ (то есть при ${\displaystyle \alpha =\beta }$) это прямая ${\displaystyle AB}$ (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом  ${\displaystyle -\omega }$.

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть ${\displaystyle ||\cos \tau _{{}_{J}},\,\sin \tau _{{}_{J}}||}$, где

${\displaystyle \tau _{{}_{J}}(p)={-2}\operatorname {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}$

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, ${\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,}$ реализуется при ${\displaystyle p=\pm 1;}$ точка ${\displaystyle J}$ при этом лежит на оси ординат ${\displaystyle (X_{J}=0).}$

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

1. Бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$: при ${\displaystyle p\to 0}$ точка сопряжения ${\displaystyle J(p)}$ бидуги ${\displaystyle AJB}$ стремится к точке ${\displaystyle A}$, часть ${\displaystyle AJ}$ исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду ${\displaystyle AB}$ и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
2. Бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$: стремление ${\displaystyle p\to \infty }$ влечёт ${\displaystyle J(p)\to B}$, часть ${\displaystyle JB}$ исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду ${\displaystyle AB}$ и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
3. Бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })}$, где

   ${\displaystyle \qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},\quad &{\text{если}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{при}}\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},\quad &{\text{если}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text{при}}\;|\beta |=\pi ),\end{array}}\right.}$

   представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда ${\displaystyle p^{\ast }\leqslant 0}$, а неравенства (1) исключают одновременное равенство ${\displaystyle |\alpha |=|\beta |=\pi }$. На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ проходит единственная бидуга ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$. Именно, через точку ${\displaystyle (x,y)}$ проходит бидуга с параметром

${\displaystyle \qquad p(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}-{\dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]\sin \omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \alpha -2cy\cos \alpha }},\quad &{\text{если}}\quad \omega \,C(x,y)\leqslant 0,\\-{\dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \beta +2cy\cos \beta }{[(x-c)^{2}+y^{2}]\sin \omega }},\quad &{\text{если}}\quad \omega \,C(x,y)\geqslant 0,\end{array}}\right.}$

где ${\displaystyle \;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \gamma -2cy\cos \gamma }$.

В семействе бидуг ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$ выделим, в зависимости от значения параметра ${\displaystyle p,}$ следующие подсемейства невырожденных бидуг:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\end{array}}}$

(в^[4], Property 2, подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,-}}$ названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$, ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ и ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$ — короткие. Их кривизна либо возрастает (если ${\displaystyle \omega >0}$), либо убывает (если ${\displaystyle \omega <0}$):

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn} \omega =\operatorname {sgn}(\alpha +\beta )}$ (теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$ (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна ${\displaystyle \alpha +\beta =2\omega }$. ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,-}}$ имеют противоположный (по отношению к ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$) характер монотонности кривизны.
Если ${\displaystyle |\alpha |\not =\pi }$ и ${\displaystyle |\beta |\not =\pi }$, то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга ${\displaystyle \color {red}{\mathcal {B}}(p^{\ast })}$ отграничивает друг от друга бидуги подсемейств ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\color {blue}1},{\color {green}2}}^{\,-}}$.

Подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ пусто, если ${\displaystyle p^{\ast }=0}$     ${\displaystyle (|\beta |=\pi ).}$

Подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ пусто, если ${\displaystyle p^{\ast }=-\infty }$ ${\displaystyle (|\alpha |=\pi ).}$

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию ${\displaystyle \tau (s)}$ — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы ${\displaystyle \pm \pi }$, и значения на концах могут отличаться от ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ на ${\displaystyle \pm 2\pi .}$ Определим, наряду с ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, кумулятивные версии граничных углов в виде ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }},{\widetilde {\beta }}}$, с учётом непрерывности ${\displaystyle \tau (s).}$ Поправка к углу ${\displaystyle \alpha }$ вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки ${\displaystyle A,}$ то есть пересекает луч ${\displaystyle \{x<-c,\,y=0\}}$; поправка к углу ${\displaystyle \beta }$ вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки ${\displaystyle B}$ (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

• в подсемействе ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\,+}}$:    ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta }$;
• в подсемействе ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$:    ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operatorname {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta }$;
• в подсемействе ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$:    ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operatorname {sgn} \omega }$.

Тогда полный поворот бидуги ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$  равен

${\displaystyle \theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha }},}$

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).}$

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, ${\displaystyle k_{2}>k_{1}}$, имеем:

${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .}$

• Nutbourne, A. W.; Martin, R. R. Differential geometry applied to curve and surface design. Vol.1: Foundations (англ.). — Ellis Horwood, 1988. — ISBN 013211822X.

• Теорема Фогта