Пусть
есть векторное пространство над полем
(чаще всего рассматриваются поля
или
).
Билинейной формой называется функция
, линейная по каждому из аргументов:
,
,
,
,
здесь
и 
Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).
Альтернативное определение
В случае конечномерных пространств (например,
) чаще используется другое определение.
Пусть
есть множество векторов вида
где
.
Билинейными формами называются функции
вида

где
а
— некоторые константы из поля 
Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по
переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.
Связанные определения
- Билинейная форма
называется симметричной, если
для любых векторов
. - Билинейная форма
называется кососимметричной (антисимметричной), если
для любых векторов
. - Вектор
называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству
относительно
, если
для всех
. Совокупность векторов
, ортогональных подпространству
относительно данной билинейной формы
, называется ортогональным дополнением подпространства
относительно
и обозначается
. - Радикалом билинейной формы
называется ортогональное дополнение самого пространства
относительно
, то есть совокупность
векторов
, для которых
при всех
.
Свойства
- Множество всех билинейных форм
, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством. - Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
- При выбранном базисе
в
любая билинейная форма
однозначно определяется матрицей

так что для любых векторов
и 

то есть

- Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
- Размерность пространства
есть
. - Несмотря на то, что матрица билинейной формы
зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы
. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен
. - Для любого подпространства
ортогональное дополнение
является подпространством
.
, где
— ранг билинейной формы
.
Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса
Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.
Иными словами, если координаты вектора в старом базисе
выражаются через координаты в новом
через матрицу 
, или в матричной записи
, то билинейная форма
на любых векторах
и
запишется, как
,
то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:
,
или, в матричной записи:
,
, где
— матрица прямого преобразования координат
.
Связь с тензорными произведениями и функтором Hom
Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством
, где k — основное поле.
Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными,
, то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из
в двойственное пространство
. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

.
См. также
Литература
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
- Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
- Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
 Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|