Биномиальная теорема Абеля

Биномиальная теорема Абеля, названная в честь Нильса Хенрика Абеля, выражается в следующем равенстве:

\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(w+m-k)^{m-k-1}(z+k)^{k}=w^{-1}(z+w+m)^{m}.

Пример

m = 2

{\begin{aligned}&{}\quad {\binom {2}{0}}(w+2)^{1}(z+0)^{0}+{\binom {2}{1}}(w+1)^{0}(z+1)^{1}+{\binom {2}{2}}(w+0)^{-1}(z+2)^{2}\\&=(w+2)+2(z+1)+{\frac {(z+2)^{2}}{w}}\\&={\frac {(z+w+2)^{2}}{w}}.\end{aligned}}

См. также

Бином Ньютона

Литература

Малых А. Е. Из истории биномиальной теоремы (рус.) // Ярославский педагогический вестник : журнал. — 2010. — № 3. — С. 31. — ISSN 1813–145Х.
Abel, N. H. Beweis eines Ausdrucks, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist. (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : журнал. — 1826. — Nr. 1. — S. 159–160.
Riordan J. Combinatorial Identities. — New York: Wiley: R. E. Krieger Pub. Co, 1979. — P. 18. — 256 p.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Abel's Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $\text{[math]}$ по длинам его сторон $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

\text{[math]}

Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона $\text{[math]}$ по степеням $\text{[math]}$ . Коэффициент при $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ и читается «биномиальный коэффициент из $\text{[math]}$ по $\text{[math]}$ » :

\text{[math]}

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики.

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $\text{[math]}$ , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

\text{[math]}

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $\text{[math]}$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $\text{[math]}$ .

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $\text{[math]}$ в пространстве $\text{[math]}$ . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\text{[math]}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

В математике теоремой Люка́ называется следующее утверждение об остатке от деления биномиального коэффициента $\text{[math]}$ на простое число p:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Теорема о равнораспределении</span>

Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы, закон равнораспределения, теорема о равнораспределении — связывает температуру системы с её средней энергией в классической статистической механике. В первоначальном виде теорема утверждала, что при тепловом равновесии энергия разделена одинаково между её различными формами, например, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы должна равняться средней кинетической энергии её вращательного движения.

<span class="mw-page-title-main">Теорема Тейлора</span>

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

Теорема Вольстенхольма утверждает, что для любого простого числа $\text{[math]}$ выполняется сравнение

\text{[math]}

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Убывающий факториал записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

\text{[math]}

Тождество Вандермонда — это следующее тождество для биномиальных коэффициентов:

\text{[math]}

Гауссовы биномиальные коэффициенты — это q-аналоги биномиальных коэффициентов. Гауссов биномиальный коэффициент $\text{[math]}$ — это многочлен от q с целыми коэффициентами, значение которого, если положить q равным степени простого числа, подсчитывает число подпространств размерности k в векторном пространстве размерности n над конечным полем с q элементами.

Q-аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, вовлекающее новый параметр q, возвращающий исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q → 1. Обычно математики интересуются q-аналогами, появляющимися естественным образом, а не выдумывают произвольные q-аналоги для известных результатов. Наиболее ранним q-аналогом являются базисные гипергеометрические ряды, которые изучались в XIX веке.

Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториалом, это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как

\text{[math]}

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции $\text{[math]}$ , заданной выражением $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.