Бирегулярная кривая

Бирегулярная кривая — кривая, регулярная на некотором интервале (или в окрестности некоторой точки), для которой кривизна не равна нулю на этом интервале. Иными словами, пусть $\gamma (s)$ — регулярная кривая в $d$ -мерном евклидовом пространстве, параметризованная своей длиной $s$ , а $\kappa (s)=|{\ddot {\gamma }}(s)|$ — кривизной кривой $\gamma$ в точке $p=\gamma (s)$ , где ${\ddot {\gamma }}(s)$ — вторая производная по натуральному параметру $s$ . Тогда кривая $\gamma (s)$ бирегулярна в некоторой окрестности точки $p=\gamma (s)$ , если кривизна $\kappa (s)$ отлична от нуля в этой окрестности.

Понятие бирегулярной кривой используется при определении трёхгранника Френе: если кривая не является бирегулярной в некоторой точке, то в этой точке трёхгранник Френе однозначно не определён.

Ссылки

Похожие исследовательские статьи

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях.

Асимптотическая кривая — кривая $\text{[math]}$ на гладкой регулярной поверхности $\text{[math]}$ в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности $\text{[math]}$ , т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

\text{[math]}

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Дифференциа́льная геоме́трия кривы́х — раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов.

Касание — свойство двух линий или линии и поверхности иметь в некоторой точке общую касательную прямую или свойство двух поверхностей иметь в некоторой точке общую касательную плоскость.

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Теоре́ма Мёнье́ — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

Естественная параметризация — параметризация кривой длиной её дуги. То есть параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки O, которая может быть выбрана произвольно. Такой параметр называется натуральным.

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

<span class="mw-page-title-main">Трёхгранник Френе</span>

Репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.

Натуральные уравнения — соотношения на кривизну и кручение бирегулярных кривых. Замечательное свойство натуральных уравнений в том, что по ним можно однозначно восстановить кривую. Натуральные уравнения, уравнения, выражающие кривизну $\text{[math]}$ и кручение $\text{[math]}$ кривой как функции её дуги: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Наименование «Натуральные уравнения» объясняется тем обстоятельством, что функции $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ не зависят от положения кривой в пространстве, а зависят только от формы кривой. Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , из которых первая положительная, то всегда существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением.

Экспоненциальное отображение — обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

<span class="mw-page-title-main">Лемма о руке</span>

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Укорачивающий поток — процесс, изменяющий гладкую кривую на плоскости путём перемещения её точек перпендикулярно к кривой со скоростью, равной её кривизне.

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Основная теорема дифференциальной геометрии кривых описывает гладкие кривые в трёхмерном евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.