Бисимметричная матрица

Бисимметричная матрица — квадратная матрица, симметричная относительно обеих диагоналей — главной и побочной, то есть одновременно являющаяся центросимметричной и персимметричной.

Может быть определена как матрица, для которой выполнено два утверждения:

$A=A^{\intercal }$ ,
$AJ=JA$ ,

где $J$ — перъединичная матрица того же размера, что и $A$ . Условия на элементы могут быть выражены следующим образом:

$a_{i,j}=a_{j,i}=a_{n+1-j,n+1-i}$ ,

где $n\times n$ — размерность матрицы.

Пример:

{\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}

Пример бисимметричной матрицы, используемой в приложениях — транспозиционная матрица.

Вещественные бисимметричные матрицы — это те и только те матрицы, чьи собственные вектора не меняются с точностью до знака при умножении на перъединичную матрицу^[1].

Произведение двух бисимметричных матриц является центросимметричной матрицей.

Количество различных элементов биссиметричной $(n\times n)$ -матрицы равно:

\left\lfloor \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\right\rfloor

где через $\lfloor \cdot \rfloor$ — операция взятия целой части.

Примечания

↑ Tao, D.; Yasuda, M. A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices (англ.) // SIAM J. Matrix Anal. Appl.^[англ.] : journal. — 2002. — Vol. 23, no. 3. — P. 885—895. — doi:10.1137/S0895479801386730. (недоступная ссылка)

Похожие исследовательские статьи

Обра́тная ма́трица — такая матрица $\text{[math]}$ , при умножении которой на исходную матрицу $\text{[math]}$ получается единичная матрица $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Уравнение Дира́ка — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2; установлено Полем Дираком в 1928 году.

Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона $\text{[math]}$ по степеням $\text{[math]}$ . Коэффициент при $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ и читается «биномиальный коэффициент из $\text{[math]}$ по $\text{[math]}$ » :

\text{[math]}

Юлиа́нская да́та (JD) — астрономический способ измерения времени, при котором считается число суток, прошедших начиная с полудня понедельника, 1 января 4713 года до н. э. пролептического юлианского календаря или, что то же самое, 24 ноября 4714 года до н. э. пролептического григорианского календаря. Первый день имел номер 0. С тех пор по настоящее время прошло немногим менее 2,5 миллиона дней. Даты сменяются в полдень UT или TT. Для точного обозначения времени применяют дробную часть, например, JD = 2451545,25 соответствует 18 часам 1 января 2000 года; 3 часа дня 2 августа 1942 года — JD 2430574,125; 13,5 июня 1944 года — JD 2431255,0.

По́лный граф — простой неориентированный граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с $\text{[math]}$ вершинами имеет $\text{[math]}$ рёбер и обозначается $\text{[math]}$ . Является регулярным графом степени $\text{[math]}$ .

Бло́чная (кле́точная) ма́трица — представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части — блоки (клетки):

\text{[math]}

Грани́ца Пло́ткина — в теории кодирования определяет предел мощности двоичного кодa длины $\text{[math]}$ и минимального расстояния $\text{[math]}$ . Названа в честь американского математика Морриса Плоткина (1907—2003).

Алгоритм Лемана детерминировано раскладывает данное натуральное число $\text{[math]}$ на множители за $\text{[math]}$ арифметических операций. Алгоритм был впервые предложен американским математиком Шерманом Леманом в 1974 году. Данный алгоритм был первым детерминированным алгоритмом факторизации целых чисел, имеющим оценку меньшую, чем $\text{[math]}$ . В настоящий момент носит чисто исторический интерес и, как правило, не используется на практике.

Длинная арифметика — выполняемые с помощью вычислительной машины арифметические операции над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. Эти операции реализуются не аппаратно, а программно, с использованием базовых аппаратных средств работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена только объёмом доступной памяти.

ACE — набор программных средств, реализующих шифрование в режиме схемы шифрования с открытым ключом, а также в режиме цифровой подписи. Соответствующие названия этих режимов — «ACE Encrypt» и «ACE Sign». Схемы являются вариантами реализации схем Крамера-Шоупа. Внесённые изменения нацелены на достижение наилучшего баланса между производительностью и безопасностью всей системы шифрования.

Центросимметри́чная ма́трица (ЦС-матрица) — квадратная матрица $\text{[math]}$ порядка n, элементы которой связаны соотношением a_ij = a_{n+1−i, n+1−j}. Частным случаем ЦС-матриц является класс бисимметричных матриц.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

Персимметричная матрица — матрица, симметричная относительно побочной диагонали, то есть такая $\text{[math]}$ -матрица $\text{[math]}$ , для которой $\text{[math]}$ для любых $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Алгоритм вычисления собственных значений — алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Создание эффективных и устойчивых алгоритмов для этой задачи является одной из ключевых задач вычислительной математики.

Криптосистема ГПТ (Габидулина-Парамонова-Третьякова) — криптосистема с открытыми ключами, основанная на ранговых кодах, разработанная в 1991 году Э. М. Габидулиным, А. В. Парамоновым и О. В. Третьяковым на основе криптосистемы McEliece.

Двоичный код Гоппы — код коррекции ошибок из класса общих кодов Гоппы, описан Валерием Денисовичем Гоппой. В сравнении с другими вариантами, бинарная структура даёт несколько математических преимуществ, а также подходит для общего использования в вычислительной технике и телекоммуникациях. Двоичные коды Гоппы обладают интересными свойствами, полезными в криптосистемах, подобных McEliece.

Произведение Хатри — Рао — операция умножения матриц, определяемая выражением:

\text{[math]}

Симметрии в квантовой механике — преобразования пространства-времени и частиц, которые оставляют неизменными уравнения квантовой механики. Рассматриваются во многих разделах квантовой механики, которые включают релятивистскую квантовую механику, квантовую теорию поля, стандартную модель и физику конденсированного состояния. В целом, симметрия в физике, законы инвариантности и сохранения являются основополагающими ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике это мощные методы решения задач и прогнозирования того, что может случиться. Хотя законы сохранения не всегда дают конечное решение проблемы, но они формируют правильные ограничения и наметки к решению множества задач.

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.

В информатике метод Акра–Баззи, или теорема Акра–Баззи, используется для анализа асимптотического поведения математических рекуррент, которые появляются при анализе алгоритмов «разделяй и властвуй», где подзадачи имеют существенно разные размеры. Это обобщение основной теоремы для рекуррентных уравнений «разделяй и властвуй», которая предполагает, что подзадачи имеют одинаковый размер. Он наназван в честь математиков Мохамада Акры и Луая Баззи.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.