Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

Вычисление координат точек пересечения кругов равных высот светил — предложенный Гауссом аналитический метод определения географических координат местоположения наблюдателя по измеренным высотам двух светил и их склонениям и часовым углам, без графических построений на карте. Используется в астрономической навигации наряду с методом Сомнера и методом переносов (метод Сент-Илера). В случае невозможности определить время наблюдения метод позволяет, тем не менее, вычислить географическую широту местоположения наблюдателя.

В общем случае данный метод не требует знания счислимого места, ${\displaystyle (\varphi _{c};\lambda _{c})}$, так как обсервация третьего светила позволяет устранить неоднозначность определения места по первым двум. Если пронаблюдать третье светило невозможно, для решения неоднозначности рекомендуется измерить азимуты наблюдаемых светил, чтобы сравнить их с вычисленными для обеих точек пересечения. Приемлема точность взятия азимутов ±10°.

Для некоторого момента времени ${\displaystyle UT_{o}}$ наблюдением получены высоты двух светил над горизонтом, ${\displaystyle h_{o1}}$ и ${\displaystyle h_{o2}}$ соответственно^[1]. Также, из альманаха, выяснены относящиеся к этому моменту их склонения, ${\displaystyle \delta _{1}}$ и ${\displaystyle \delta _{2}}$; и гринвичские часовые углы, ${\displaystyle t_{G1}}$ и ${\displaystyle t_{G2}}$. Северное склонение и восточная долгота считаются положительными величинами, южное склонение и западная долгота — отрицательными, в вычислениях соблюдать соглашение о знаках величин обязательно.

Если выбранными светилами являются звёзды, у которых величины склонений и прямых восхождений можно принять неизменными в течение суток, вместо гринвичских часовых углов допустимо использовать выраженные в угловой мере значения их прямых восхождений, ${\displaystyle \alpha }$, или звёздные дополнения, ${\displaystyle \tau ^{\star }}$. В этом случае географическая широта местоположения наблюдателя вычисляется без знания точного момента времени наблюдения светил.

Рассмотрим параллактические треугольники ${\displaystyle PZ\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle PZ\sigma _{2}}$, где ${\displaystyle P_{N}}$ — северный полюс мира, ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}}$ — наблюдаемые светила, ${\displaystyle Z}$ — зенит наблюдателя. ${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1}}$ и ${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2}}$ — зенитные расстояния светил.

На первом этапе вычислений (определение широты) требуется величина часового угла между светилами, ${\displaystyle \Delta t}$, которая в случае наблюдения планет, Солнца или Луны должна быть получена из их гринвичских часовых углов:

${\displaystyle \Delta t=t_{G2}-t_{G1}}$

При наблюдении звёзд эта величина может быть получена из значений их прямых восхождений:

${\displaystyle \Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1}^{[h]})}$

Из звёздных дополнений:

${\displaystyle \Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{2}^{\star })} _{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{1}^{\star })} _{t_{G1}}=\tau _{2}^{\star }-\tau _{1}^{\star }}$

Действительные величины гринвичских часовых углов понадобятся на шаге вычисления долготы.

• Угловое расстояние между светилами, ${\displaystyle D_{12}}$:

${\displaystyle \cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)}$

• Постоянная часть параллактического угла, ${\displaystyle q_{1}}$, при первом светиле:

${\displaystyle \cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta _{2})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}}$

• Переменная часть параллактического угла, ${\displaystyle \Delta q_{1}}$, от первого светила к наблюдателю:

${\displaystyle \cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}}$

Наблюдатель может находиться в одной из двух точек, ${\displaystyle Fix_{1}}$ или ${\displaystyle Fix_{2}}$, расположенных симметрично относительно дуги ${\displaystyle D_{12}}$, действительное значение паралактического угла может быть суммой или разностью углов ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle \Delta q_{1}}$.

• Широта первого пересечения, ${\displaystyle \varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}}$:

${\displaystyle \sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})}$

• Широта второго пересечения, ${\displaystyle \varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}}$:

${\displaystyle \sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})}$

На основании приблизительной оценки текущего местоположения наблюдателя производится выбор значения широты, ${\displaystyle \varphi _{o}}$, ближайшего к ожидаемому. Дальнейшие вычисления производятся с ним.

Знак угла ${\displaystyle \Delta q_{1}}$ можно определить и без попытки вычисления обоих значений широты. Достаточно свериться с видом треугольника ${\displaystyle P\sigma _{1}\sigma _{2}}$: если счислимое место и повышенный полюс мира находятся по одну сторону дуги ${\displaystyle D_{12}}$, величину ${\displaystyle \Delta q_{1}}$ следует брать со знаком минус, если счислимое место и полюс мира находятся по разные стороны, — величину ${\displaystyle \Delta q_{1}}$ следует брать со знаком плюс.

• Основное значение местного часового угла, ${\displaystyle t_{1}}$, первого светила для широты ${\displaystyle \varphi _{o}}$:

${\displaystyle \cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})}$

Так как функция ${\displaystyle \arccos(x)}$ всегда возвращает значения углов в диапазоне ${\displaystyle 0^{\circ }...180^{\circ }}$, действительная величина местного часового угла, ${\displaystyle t_{m1_{i}}}$, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то ${\displaystyle t_{m1_{I}}=t_{1}}$, если восточнее, то ${\displaystyle t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}}$.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора действительного значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях ${\displaystyle t_{m1_{i}}}$, и сравнить с наблюдённой величиной ${\displaystyle h_{o2}}$.

${\displaystyle t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}}$ — местный часовой угол второго светила при основном значении функции ${\displaystyle \arccos(\cos(t_{1}))}$

${\displaystyle t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}}$ — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

${\displaystyle \sin(h_{c2_{I}})=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})}$ — вычисленная высота второго светила для места ${\displaystyle (\varphi _{o};\lambda _{o_{I}})}$

${\displaystyle \sin(h_{c2_{II}})=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})}$ — вычисленная высота второго светила для места ${\displaystyle (\varphi _{o};\lambda _{o_{II}})}$

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, ${\displaystyle t_{m1_{i}}}$, первого светила, при котором вычисленная, ${\displaystyle h_{c2_{i}}}$, и наблюдённая, ${\displaystyle h_{o2}}$, высота второго светила согласуются.

• Долгота выбранного пересечения кругов равных высот, ${\displaystyle \lambda _{o}}$:

${\displaystyle \lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}}$

Географические координаты ${\displaystyle \varphi _{o}}$ и ${\displaystyle \lambda _{o}}$ местоположения наблюдателя на момент времени ${\displaystyle UT_{o}}$ определены.

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

• Азимут светила, ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \cos(A)={\frac {\sin(\delta )-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i})}}-\tan(h)\cdot \tan(\varphi _{i})}$

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

Координаты точек пересечений, по тем же исходным данным, можно вычислить^[2] с помощью единственной тригонометрической функции — гаверсинус угла, ${\displaystyle \operatorname {hav} (\theta )}$. Для получения точности координат в одну угловую минуту пригодна 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов^[3], что позволяет произвести расчёты без применения электронных калькуляторов или таблиц логарифмов значений нескольких тригонометрических функций.

• Вспомогательные величины ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle F=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})}$

${\displaystyle G=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})}$

• Угловое расстояние между светилами, ${\displaystyle D_{12}}$:

${\displaystyle \operatorname {hav} (D_{12})=F+(1-F-G)\cdot \operatorname {hav} (\Delta t)}$

• Угол, дополнительный к ${\displaystyle D_{12}}$:

${\displaystyle D^{*}=90^{\circ }-D_{12}}$

• Зенитное расстояние, ${\displaystyle z_{1}}$, первого светила; зенитное расстояние, ${\displaystyle z_{2}}$, и полярное расстояние, ${\displaystyle p_{2}}$, второго светила:

${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1}}$

${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2}}$

${\displaystyle p_{2}=90^{\circ }-\delta _{2}}$

Полярное расстояние всегда отсчитывается от северного полюса мира.

• Вспомогательные величины ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle J=\operatorname {hav} (h_{o1}-D^{*})}$

${\displaystyle K=\operatorname {hav} (h_{o1}+D^{*})}$

${\displaystyle L=\operatorname {hav} (\delta _{1}-D^{*})}$

${\displaystyle P=\operatorname {hav} (\delta _{1}+D^{*})}$

${\displaystyle R=\operatorname {hav} (\delta _{1}-h_{o1})}$

${\displaystyle S=\operatorname {hav} (\delta _{1}+h_{o1})}$

• Вспомогательный угол ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \operatorname {hav} (\alpha )={\frac {\operatorname {hav} (z_{2})-J}{1-K-J}}}$

• Вспомогательный угол ${\displaystyle (\alpha +\beta )}$:

${\displaystyle \operatorname {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {hav} (p_{2})-L}{1-P-L}}}$

• Вспомогательный угол ${\displaystyle \beta _{I}}$, относящийся к первой точке пересечения кругов равной высоты:

${\displaystyle \beta _{I}=(\alpha +\beta )-\alpha }$

• Угол, дополнительный к широте, ${\displaystyle \phi _{I}^{*}}$, и широта первой точки пересечения, ${\displaystyle \varphi _{I}}$:

${\displaystyle \operatorname {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-R-S)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{I})}$

${\displaystyle \varphi _{I}=90^{\circ }-\phi _{I}^{*}}$

Если полученное значение широты не согласуется с приближённой оценкой текущего местоположения наблюдателя, вычисляется широта второй точки пересечения кругов равной высоты:

${\displaystyle \beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha }$

${\displaystyle \operatorname {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-R-S)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{II})}$

${\displaystyle \varphi _{II}=90^{\circ }-\phi _{II}^{*}}$

Дальнейшие вычисления производятся с выбранным значением ${\displaystyle \varphi _{o}}$.

• Вспомогательные величины ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle U=\operatorname {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})}$

${\displaystyle V=\operatorname {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})}$

• Основное значение местного часового угла, ${\displaystyle t_{1}}$, первого светила, для широты ${\displaystyle \varphi _{o}}$:

${\displaystyle \operatorname {hav} (t_{1})={\frac {\operatorname {hav} (z_{1})-U}{1-V-U}}}$

Так как функция ${\displaystyle \operatorname {archav} (x)}$ всегда возвращает значения углов в диапазоне ${\displaystyle 0^{\circ }...180^{\circ }}$, действительная величина местного часового угла, ${\displaystyle t_{m1_{i}}}$, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то ${\displaystyle t_{m1_{I}}=t_{1}}$, если восточнее, то ${\displaystyle t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}}$.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях, и сравнить с наблюдённой величиной ${\displaystyle h_{o2}}$.

${\displaystyle t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}}$ — местный часовой угол второго светила при основном значении функции ${\displaystyle \operatorname {archav} (\operatorname {hav} (t_{1}))}$

${\displaystyle t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}}$ — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

${\displaystyle M=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\varphi _{o})}$

${\displaystyle N=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\varphi _{o})}$

${\displaystyle \operatorname {hav} (z_{c2_{I}})=M+(1-M-N)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{I}})}$

${\displaystyle \operatorname {hav} (z_{c2_{II}})=M+(1-M-N)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{II}})}$

Дуга ${\displaystyle z_{c2_{i}}}$ — зенитное расстояние второго светила, вычисленное для места ${\displaystyle (\varphi _{o};\lambda _{o_{i}})}$.

${\displaystyle h_{c2_{i}}=90^{\circ }-z_{c2_{i}}}$ — вычисленная высота второго светила.

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, ${\displaystyle t_{m1_{i}}}$, первого светила, при котором вычисленная, ${\displaystyle h_{c2_{i}}}$, и наблюдённая, ${\displaystyle h_{o2}}$, высота второго светила согласуются.

• Долгота точки пересечения, ${\displaystyle \lambda _{o}}$:

${\displaystyle \lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}}$

Географические координаты ${\displaystyle \varphi _{o}}$ и ${\displaystyle \lambda _{o}}$ местоположения наблюдателя на момент времени ${\displaystyle UT_{o}}$ определены.

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

• Угловое расстояние светила от повышенного полюса, ${\displaystyle ePD}$:

${\displaystyle ePD={\begin{cases}90^{\circ }-\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ и }}\varphi _{i}{\text{ одноимённые (оба северного или оба южного полушария)}}\\90^{\circ }+\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ и }}\varphi _{i}{\text{ разноимённые}}\end{cases}}}$

• Азимут светила, ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \operatorname {hav} (A)={\frac {\operatorname {hav} (ePD)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)}{1-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert +h)}}}$

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

• Henning Umland, A Short Guide to Celestial Navigation
• John Karl, Celestial Navigation in the GPS Age

• Капитан 3 ранга А. Лусис, Определение места по звёздам усовершенствованным методом высотных изолиний, «Морской сборник» 1988 № 12, стр.65