Гамма-сходимость

Перейти к навигации Перейти к поиску

Γ-сходимость (Гамма-сходимость) – концепция сходимости функционалов, возникающая в вариационном исчислении, а также при изучении дифференциальных уравнений в частных производных.

Определение

Пусть $X$ – топологическое пространство. Тогда последовательность функционалов $F_{n}:X\to [0,+\infty )$ Γ-сходится к $F$ , если

Для любой последовательности $x_{n}\in X$ , такой что $x_{n}\to x$ при $n\to \infty$ ,

F(x)\leq \liminf \limits _{n\to \infty }F_{n}\left(x_{n}\right)

Для любого $x\in X$ существует последовательность $x_{n}$ , сходящаяся к $x$ , такая что

F(x)\geq \limsup \limits _{n\to \infty }F_{n}\left(x_{n}\right)

Первое условие означает что $F$ является асимптотической нижней гранью $F_{n}$ . Второе условие означает что эта нижняя грань является точной.

Свойства

Сходимость минимизирующих последовательностей: если $F_{n}$ Γ-сходится к $F$ , и если $x_{n}$ является минимизирующей последовательностью $F_{n}$ , тогда любая предельная точка последовательности $x_{n}$ является (локальным) минимумом $F$ .
Γ-предел всегда является слабо полунепрерывным снизу (а следовательно, и полунепрерывным снизу).
Γ-сходимость стабильна относительно непрерывных возмущений: Если $F_{n}$ Γ-сходится к $F$ , и если $G:X\to [0,+\infty )$ – непрерывна, тогда $F_{n}+G$ Γ-сходится к $F+G$ .
Постоянная последовательность $F_{n}=F$ не обязательно Γ-сходится к $F$ . Тем не менее, она сходится к "релаксации" $F$ – к наибольшему полунепрерывному снизу функционалу, ограниченному сверху функционалом $F$ .

Приложения

Одним из наиболее важных приложений $\Gamma$ -сходимости является теория упругости.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Предел функции</span> величина, к которой значение функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке

Преде́лом фу́нкции в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков», то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней.

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $\text{[math]}$ сходится к ней в смысле $\text{[math]}$ -нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно. Тем не менее при некоторых дополнительных условиях поточечная сходимость всё же имеет место.

$\text{[math]}$ — это пространства измеримых функций, таких, что их $\text{[math]}$ -я степень интегрируема, где $\text{[math]}$ .

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Сходи́мость по ме́ре в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций, заданных на пространстве с мерой.

Сходи́мость в $\text{[math]}$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

В математике, поточечная сходимость последовательности функций на множестве — это вид сходимости, при котором каждой точке данного множества ставится в соответствие предел последовательности значений элементов последовательности в этой же точке.

<span class="mw-page-title-main">Полунепрерывная функция</span>

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Пусть $\text{[math]}$ — произвольное множество, $\text{[math]}$ — метрическое пространство, $\text{[math]}$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность $\text{[math]}$ равномерно сходится к функции $\text{[math]}$ , если для любого $\text{[math]}$ существует такой номер $\text{[math]}$ , что для всех номеров $\text{[math]}$ и всех точек $\text{[math]}$ выполняется неравенство

\text{[math]}

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

\text{[math]}

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\text{[math]}$ .

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов», «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов».

Функция, имеющая первообразную — функция, которая может быть получена в результате дифференцирования некоторой функции. Обычно термин употребляется по отношению к вещественнозначным функциям одного вещественного переменного, определённых на промежутке. Именно о таких функциях пойдёт речь далее в статье.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.