Раскраска графа — теоретико-графовая конструкция, частный случай разметки графа. При раскраске элементам графа ставятся в соответствие метки с учётом определённых ограничений; эти метки традиционно называются «цветами». В простейшем случае такой способ окраски вершин графа, при котором любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета, называется раскраской вершин. Аналогично раскраска рёбер присваивает цвет каждому ребру так, чтобы любые два смежных ребра имели разные цвета. Наконец, раскраска областей планарного графа назначает цвет каждой области, так, что каждые две области, имеющие общую границу, не могут иметь одинаковый цвет.
Хромати́ческое число графа — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета.
Хроматический многочлен — многочлен, изучаемый в алгебраической теории графов, представляющий число раскрасок графа как функцию от числа цветов. Первоначально определён Джорджем Биркгофов для попытки решения на проблемы четырёх красок. Обобщен и систематически изучен Хасслером Уитни, Татт обобщил хроматический многочлен до многочлена Татта, связав его с моделью Поттса статистической физики.
В теории графов тотальной раскраской называется вид раскраски вершин и рёбер графа. Если не указано явно другое, тотальная раскраска предполагается правильной в том смысле, что никакие смежные вершины и никакие смежные рёбра и вершины, лежащие на концах рёбер, не раскрашиваются в один и тот же цвет.
Дробная раскраска — это тема молодой области теории графов, известной как теория дробных графов. Дробная раскраска является обобщением обычной раскраски. В традиционной раскраске графа каждой вершине назначается некий цвет, и смежным вершинам — тем, что связаны рёбрами, — должны быть назначены разные цвета. В дробной раскраске каждой вершине назначается набор цветов. Ограничения, накладываемые на смежные вершины, остаются в силе, так что если две вершины соединены ребром, они не должны иметь общих цветов.
В теории графов графом без треугольников называется неориентированный граф, в котором никакие три вершины не образуют треугольник из рёбер. Графы без треугольников можно определить также как графы с кликовым числом ≤ 2, графы с обхватом ≥ 4, графы без порождённых 3-циклов, или как локально независимые графы.
В теории графов круговой граф — это граф пересечений множества хорд окружности. То есть это неориентированный граф, вершины которого можно отождествить с хордами окружности, и эти вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие хорды пересекаются.
Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера — это вид двойственности между раскрасками вершин заданного неориентированного графа и ориентациями его рёбер. Теорема утверждает, что минимальное число красок, необходимых для правильной раскраски любого графа G, на единицу больше длины максимального пути в ориентации графа G, в которой эта длина пути минимальна. В ориентации, в которых путь максимальной длины имеет минимальную длину, всегда входит по меньшей мере одна ациклическая ориентация.
Теорема де Брёйна — Эрдёша — теорема теории графов доказанная Палом Эрдёшем и Николаасом де Брёйном.
Цикловую раскраску можно рассматривать как уточнение обычной раскраски графов. Цикловое хроматичеcкое число графа 
с обозначением 
можно определить следующими эквивалентными способами.
- равен инфимуму по всем вещественным числам
таким, что существует отображение из 
в окружность с длиной, равной 1, при этом две смежные вершины отображаются в точки на расстоянии 
вдоль окружности. - равен инфимуму по рациональным числам
таким, что существует отображение из в циклическую группу 
со свойством, что смежные вершины отображаются в элементы на расстоянии 
друг от друга. - В ориентированном графе определим дисбаланс цикла
, как значение 
, делённое на меньшее из числа рёбер, направленных по часовой стрелке и числа рёбер, направленных против часовой стрелки. Определим дисбаланс ориентированного графа, как максимальный дисбаланс по всем циклам. Теперь, равен минимальному дисбалансу по всем ориентациям графа .
Ориентированная раскраска графа — это специальный вид раскраски графов. А именно, это назначение цветов вершинам ориентированного графа, которое
- правильное — никакие две смежные вершины не получают один и тот же цвет,
- сохраняется ориентация — если (x, y) и (u, v) являются дугами в графе, то недопустимо, чтобы цвета вершин x и v, а также цвета вершин y и u совпадали.
Гипотеза Хедетниеми — математическая гипотеза, в общем случае опровергнутая, предположение о связи между раскраской графов и тензорным произведением графов:
,
Предписанная раскраска — это вид раскраски графов, в которой каждая вершина может принимать ограниченное множество допустимых цветов. Одними из первых эту раскраску изучили Визинг и Эрдёш, а также Рубин и Тейлор в 1970-х годах.
Предписанная раскраска рёбер графа — это вид раскраски графов, в которой комбинируется предписанная раскраска и раскраска ребер.
Характерная раскраска или характерная разметка графа — это назначение цветов или меток вершинам графа, которые разрушают нетривиальные симметрии графа. Не требуется, чтобы раскраска была правильной — смежным вершинам разрешено иметь одинаковый цвет. Для раскрашенного графа не должно существовать биективного отображения множества вершин с сохранением смежности и раскраски. Минимальное число цветов в характерной раскраске называется характерным числом графа.
Дефектная раскраска — это вариант правильной раскраски вершин. В правильной раскраске вершин вершины раскрашиваются так, что никакая из смежных вершин не имеют одного цвета. При дефектной раскраске, с другой стороны, вершинам разрешено в известной мере иметь соседей того же цвета.
Точная раскраска — это раскраска вершин, в которой каждая пара цветов появляется ровно один раз на паре смежных вершин, разбиение вершин графа на непересекающиеся независимые множества. Таким образом, для каждой пары различных независимых множеств в разбиении существует только одно ребро, концы которого принадлежат обоим множествам.
Смешанный граф G = представляет собой математический объект, состоящий из набора вершин V, набора (неориентированных) ребер E и набора направленных ребер A.
