Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма[1], описывающая поведение функции во втором порядке.
Для функции
, дважды дифференцируемой в точке 

или

где
(или
) и функция
задана на
-мерном вещественном пространстве
(или комплексном пространстве
) с координатами
(или
). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы
см. ниже.
Матрица Гессе
Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

Определитель этой матрицы называется определителем Гессе, или просто гессианом[].
Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них — алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно.
Симметрия матрицы Гессе
Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен:

Это можно также записать как

В этом случае матрица Гессе симметрична.
Критические точки функции
Если градиент
(её векторная производная) равен нулю в некоторой точке
, то эта точка называется критической. Достаточным условием существования экстремума в этой точке является знакоопределённость гессиана f (понимаемого в данном случае как квадратичная форма), а именно:
- если гессиан положительно определён, то
— точка локального минимума функции
, - если гессиан отрицательно определён, то
— точка локального максимума функции
, - если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден
, то
— седловая точка функции
.
Вариации и обобщения
Вектор-функции
Если
— вектор-функция, то есть

то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга 3, который можно рассматривать как массив из
матриц Гессе:

При
данный тензор вырождается в обычную матрицу Гессе.
Окаймлённый гессиан
При решении задачи нахождения условного экстремума функции
с ограничениями

где
,
, для проверки достаточных условий экстремума можно использовать так называемый окаймлённый гессиан функции Лагранжа
, который будет иметь вид[2]

Проверка достаточных условий экстремума заключается в вычислении знаков детерминантов определённого набора подматриц окаймлённого гессиана. Именно, если существуют
и
такие, что
и

для
, то в точке
функция
имеет строгий условный минимум. Если же

для
, то в точке
функция
имеет строгий условный максимум[3].
История
Понятие введено Людвигом Отто Гессе (1844), который использовал другое название. Термин «гессиан» был введён Джеймсом Джозефом Сильвестром.
См. также
Примечания
Ссылки
- Камынин Л.И. Математический анализ. Т. 1, 2. - 2001.
- Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание.
- Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.