Гиперэкспоненциальное распределение

В теории вероятностей, гиперэкспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, при котором плотность вероятности случайной величины ${\displaystyle X}$ выражается как

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(y)p_{i},}$

где ${\displaystyle Y_{i}}$ — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром ${\displaystyle \lambda \,_{i}}$, и ${\displaystyle p_{i}}$ — вероятность того, что X будет иметь экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda \,_{i}}$. Оно названо гиперэкспоненциальным распределением, так как его коэффициент вариации больше коэффициента вариации экспоненциального распределения (1) и гипоэкспоненциального распределения, у которого коэффициент вариации меньше коэффициента вариации экспоненциального распределения. Хотя экспоненциальное распределение — непрерывный аналог геометрического распределения, гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения. Гиперэкспоненциальное распределение — пример распределения со смешанной плотностью.

Пример случайной величины, распределённой по гиперэкспоненциальному закону, можно найти в телефонии: при наличии модема и телефона использование телефонной линии может моделироваться гиперэкспоненциальным распределением с заданной вероятностью разговора по телефону p с битрейтом ${\displaystyle \lambda \,_{1}}$ и вероятностью соединения по модему q с битрейтом ${\displaystyle \lambda \,_{2}.}$

Поскольку математическое ожидание суммы есть сумма математических ожиданий, математическое ожидание гиперэкспоненциально распределённой случайной величины

${\displaystyle E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda \,_{i}}}}$

и

${\displaystyle E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}\,dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}\,dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}\,dx,}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda \,_{i}^{2}}}p_{i},}$

Производящая функция моментов

${\displaystyle E(e^{tx})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda \,_{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$