Гипотеза Минковского

Гипотеза Минковского — предположение, согласно которому для любой решётки $L\subset \mathbb {R} ^{n}$ с определителем $2^{n}$ и любого вектора $v=(v_{1},v_{2},..,v_{n})$ найдётся элемент $x=(x_{1},x_{2},..,x_{n})\in L$ такой что

|(x_{1}-v_{1})(x_{2}-v_{2})\dots (x_{n}-v_{n})|\leqslant 1

Случай $n=2$ этой гипотезы был доказан Минковским^[1]
При $n=3$ гипотезу Минковского доказал Ремак^[2]
При $n=4$ гипотезу Минковского доказал Дайсон ^[3]
При $n=5$ гипотезу Минковского доказал Скубенко ^[4]

Примечания

↑ Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen. — Leipzig-Berlin: R. G. Teubner, 1910.
↑ Remak, R., Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes, I, II. Math. Z., 17 (1923), 1—34; 18 (1924), 173—200.
↑ Dyson, F. J., On the product of four non-homogeneous linear forms. Ann. of Math. B, 49, (1948), 82—109.
↑ Skubenko, B. F. A new variant of the proof of the inhomogeneous Minkowski conjecture for n=5. (Russian) Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov. 142 (1976), 240--253, 271

Литература

Касселс Дж. В. С, Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1955;

Похожие исследовательские статьи

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция $\text{[math]}$ на отрезке $\text{[math]}$ , обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности на отрезке $\text{[math]}$ в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Тест Аграва́ла — Кая́ла — Саксе́ны — единственный известный на данный момент универсальный полиномиальный, детерминированный и безусловный тест простоты чисел, основанный на обобщении малой теоремы Ферма на многочлены.

Деся́тая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода определения разрешимости произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ , что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом в 1909-м году в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.

Лемма Шепли — Фолкмана связывает две операции выпуклой геометрии — сложение по Минковскому и выпуклую оболочку. Лемма имеет приложения в ряде дисциплин, в том числе в математической экономике, оптимизации и теории вероятностей. Лемма и связанные с ней результаты позволяют дать утвердительный ответ на вопрос «Близка ли к состоянию выпуклости сумма нескольких множеств?».

<span class="mw-page-title-main">Задача со счастливым концом</span>

Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

<span class="mw-page-title-main">Задача об иголке</span>

Задача об иголке состоит в определении минимальной площади фигуры на плоскости, в которой единичный отрезок, «иглу», можно развернуть на 180 градусов, вернув его в исходное положение с обращённой ориентацией. Такое возможно проделать в круге радиуса 1/2. Другой пример — фигура, ограниченная дельтоидой, — показан на картинке, он имеет меньшую площадь.

Задачи упаковки — это класс задач оптимизации в математике, в которых пытаются упаковать объекты в контейнеры. Цель упаковки — либо упаковать отдельный контейнер как можно плотнее, либо упаковать все объекты, использовав как можно меньше контейнеров. Многие из таких задач могут относиться к упаковке предметов в реальной жизни, вопросам складирования и транспортировки. Каждая задача упаковки имеет двойственную задачу о покрытии, в которой спрашивается, как много требуется некоторых предметов, чтобы полностью покрыть все области контейнера, при этом предметы могут накладываться.

Мера Малера $\text{[math]}$ для многочлена $\text{[math]}$ с комплексными коэффициентами определяется как

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Числа Маркова</span>

Числа Маркова — это положительные числа x, y или z, являющиеся решениями диофантова уравнения Маркова

\text{[math]}

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Теорема Хайоша утверждает, что если конечная абелева группа представляется в виде прямого произведения симплексов, то есть наборов вида {e,a,a²,...,a^s-1}, где e — единичный элемент, тогда по меньшей мере один из членов этого произведения является подгруппой. Теорему доказал венгерский математик Дьёрдь Хайош в 1941, используя групповые кольца. Позднее Ласло Редеи доказал это утверждение при требовании лишь присутствия в прямом произведении тождественного элемента и простого числа элементов произведения.

Множество сумм — концепт аддитивной комбинаторики, соответствующий сумме Минковского конечных множеств.

Глобальное поле — это поле одного из двух видов:

поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля рациональных чисел $\text{[math]}$ ,

L-функция Артина — это вид ряда Дирихле, связанный с представлением $\text{[math]}$ группы Галуа $\text{[math]}$ расширения числового поля. Эти функции были введены в 1923 Эмилем Артином, в связи с его работой в теории полей классов. Фундаментальные свойства этих функций, в частности гипотеза Артина, описанная ниже, оказались устойчивыми к легким доказательствам. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитических L-функций Артина в более широкую теорию, которая будет вытекать из автоморфных форм и программы Ленглендса. До сих пор лишь небольшая часть такой теории была построена на прочной основе.

<span class="mw-page-title-main">Дискриминант алгебраического числового поля</span>

Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа разветвляются.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.