Гипотеза Фейта – Томпсона

Гипотеза Фейта – Томпсона — это гипотеза в теории чисел, предложенная Фейтом и Томпсоном^[1]. Гипотеза утверждает, что нет различных простых чисел p и q таких, что

{\frac {p^{q}-1}{p-1}}

делит

{\frac {q^{p}-1}{q-1}}

Если гипотеза верна, она существенно упрощает последнюю главу доказательства Фейта и Томпсона^[2] теоремы Томпсона–Фейта, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Более строгую гипотезу, что эти два числа всегда взаимно просты, опровёрг Стивенс^[3] с контрпримером p = 17 и q = 3313 с общим делителем 2pq + 1 = 112643.

Известно, что гипотеза верна для q = 3 (Le 2012).

Неформально, вероятностные аргументы дают возможность предположить, что «ожидаемое» число контрпримеров гипотезе Фейта — Томпсона очень близко к 0, из чего можно заключить, что гипотеза Фейта — Томпсона, скорее всего, верна.

См. также

Круговой многочлен
Гипотеза Горматига^[англ.]

Литература

Walter Feit, John G. Thompson. A solvability criterion for finite groups and some consequences // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1962. — Т. 48, вып. 6. — С. 968–970. — doi:10.1073/pnas.48.6.968. — JSTOR 71265. MR: 0143802
Walter Feit, John G. Thompson. Solvability of groups of odd order // Pacific J. Math.. — 1963. — Т. 13. — С. 775–1029. — ISSN 0030-8730. — doi:10.2140/pjm.1963.13.775.
Mao Hua Le. A dibisibility problem concerning group theory // Pure Appl. Math. Q.. — 2012. — Т. 8. — С. 689–691. — ISSN 1558-8599. — doi:10.4310/PAMQ.2012.v8.n3.a5.
Nelson M. Stephens. On the Feit–Thompson conjecture // Math. Comp.. — 1971. — Т. 25. — С. 625. — doi:10.2307/2005226. — JSTOR 2005226.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Математическая индукция</span> метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером $\text{[math]}$ — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером $\text{[math]}$ , то верно и следующее утверждение с номером $\text{[math]}$ — шаг индукции, или индукционный переход.

<span class="mw-page-title-main">Интегральный логарифм</span>

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

\text{[math]}

Проблемы Ландау — четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:

гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число простых $\text{[math]}$ таких, что $\text{[math]}$ тоже простое?
гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
существует ли бесконечно много простых чисел $\text{[math]}$ , для которых $\text{[math]}$ является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида $\text{[math]}$ ?

Гипотеза Лежандра — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального $\text{[math]}$ существует простое число между $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году, по состоянию на 2024 год ни доказана, ни опровергнута.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: $\text{[math]}$ , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Гипотеза Эллиота — Халберстама $\text{[math]}$ — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота и Хайни Халберстама.

<span class="mw-page-title-main">Последовательность Сильвестра</span>

Последовательность Сильвестра — целочисленная последовательность, в которой каждый очередной член равен произведению предыдущих членов плюс единица. Первые несколько членов последовательности:

2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, 10 650 056 950 807, 113 423 713 055 421 850 000 000 000, ….

Гипотеза Эрдёша — Штрауса — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой для всех целых чисел $\text{[math]}$ рациональное число $\text{[math]}$ может быть представлено в виде суммы трёх аликвотных дробей, то есть существует три положительных целых числа $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , таких что:

\text{[math]}

Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Понятие числа Оре введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, ….

Гипотеза фон Неймана — опровергнутая гипотеза о структуре аменабельных групп; предполагала, что любая неаменабельная группа содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

<span class="mw-page-title-main">Сверхсоставное число</span>

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

Гипотеза Римана является одной из наиболее важных гипотез в математике. Гипотеза является утверждением о нулях дзета-функции Римана. Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны так называемыми глобальными L-функциями, которые формально похожи на дзета-функцию Римана. Можно тогда задать тот же вопрос о корнях этих L-функций, что даёт различные обобщения гипотезы Римана. Многие математики верят в верность этих обобщений гипотезы Римана. Единственный случай, когда такая гипотеза была доказана, произошёл в алгебраическом поле функций.

Гипотеза Чебышёва — теоретико-числовая гипотеза, выдвинутая Пафнутием Чебышёвым в 1853 году: доля простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4, незначительно, но устойчиво превышает долю простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Иначе говоря, для произвольно выбранного большого числа $\text{[math]}$ суммарное количество простых чисел вида $\text{[math]}$ , таких что $\text{[math]}$ , будет с большой вероятностью больше суммарного количества простых чисел вида $\text{[math]}$ . Доказана только в предположении выполнения некоторой усиленной формы гипотезы Римана.

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт и Джон Григгс Томпсон.

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, $\text{[math]}$ Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

Monstrous moonshine, также известная как Гипотеза чудовищного вздора — неожиданная связь простой конечной группы-монстра $\text{[math]}$ с модулярными функциями. Была выдвинута как гипотеза в 1970-х годах и доказана в 1992 году.

Суперизбыточное число — натуральное число $\text{[math]}$ такое, что для всех $\text{[math]}$ выполнено

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.