Гипотеза Ферма — Каталана

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

a^{m}+b^{n}=c^{k}

имеет не более чем конечное число решений $a,b,c,m,n,k$ с различными тройками значений $a^{m},b^{n},c^{k}$ , где $a,b,c$ — натуральные взаимно простые числа, а $m,n,k$ — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.

На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:^[1]

1^{m}+2^{3}=3^{2}

2^{5}+7^{2}=3^{4}

13^{2}+7^{3}=2^{9}

2^{7}+17^{3}=71^{2}

3^{5}+11^{4}=122^{2}

33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}

1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}

9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}

17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}

43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}

Решение $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ — это единственное решение, в котором одно из $a,b,c$ равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Михайлеску^[англ.].

Все решения были найдены для троек показателей $m,n,k,$ равных $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(3,3,4),(3,3,5),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)$ .

По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных $m,n,k$ , удовлетворяющих неравенству ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$ , существует не более чем конечное число троек $a,b,c$ , удовлетворяющих уравнению $a^{m}+b^{n}=c^{k}$ , но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек $m,n,k$ .

abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана^[1].

Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.

Примечания

↑ ¹ ² Pomerance, Carl (2008), "Computational Number Theory", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 361—362, ISBN 978-0-691-11880-2.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Пифагорова тройка</span>

Пифаго́рова тро́йка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел $\text{[math]}$ удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению

\text{[math]}

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

<span class="mw-page-title-main">Факторизация целых чисел</span> Разложение натурального числа на простые множители

Факториза́цией натурального числа называется его разложение в произведение простых множителей. Существование и единственность такого разложения следует из основной теоремы арифметики.

Уравне́ние — равенство вида

\text{[math]}

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

\text{[math]}

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики.

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб».

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Гипотеза Эйлера — предположение о том, что для любого натурального числа $\text{[math]}$ никакую $\text{[math]}$ -ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

\text{[math]}

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Деся́тая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода определения разрешимости произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел $\text{[math]}$ формулой:

\text{[math]}

Гипо́теза Пиллаи — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой при заданных натуральных числах $\text{[math]}$ уравнение:

\text{[math]}

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ , имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Задача о пушечных ядрах — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Уравнение имеет два решения: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то есть одно пушечное ядро, и $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то есть 4900 пушечных ядер.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.