Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях^[1] — предположение в аддитивной комбинаторике, сформулированное Палом Эрдёшем, согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Формально, если:

${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}=\infty }$,

то есть ${\displaystyle A}$ — большое множество^[англ.], то ${\displaystyle A}$ содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Эрдёш обещал в своё время премию в 3 тыс. долларов США за доказательство гипотезы^[2], по состоянию на 2008 год была установлена премия в 5 тыс. долларов США^[3].

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn}}={\frac {1}{k}}\left({\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}\right)}$ расходится как гармонический), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, где суммирование ведётся по простым числам, также расходится^[4]).

Ввиду эквивалентности расхождению ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k}}(4^{t})}}$, гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что ${\displaystyle \forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\varepsilon }}}\right)}$.

Однако на данный момент доказано только^[5], что ${\displaystyle a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}})^{c_{k}}}}\right)}$, где ${\displaystyle c_{k}=2^{-2^{k+9}}}$, а также, в частном случае ${\displaystyle k=3}$, что ${\displaystyle a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N}}}{\log {N}}}}\right)}$.

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Архивная копия от 28 апреля 2016 на Wayback Machine, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. doi:10.1007/BF02579174
• И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Т. 61, вып. 6(372). — С. 111—178. — doi:10.4213/rm5293.