Дави́д Ги́льберт — немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих академий наук, в том числе Берлинской, Гёттингенской, Лондонского королевского общества, иностранный почётный член Академии наук СССР (1934). Лауреат премии имени Н. И. Лобачевского (1903). В 1910—1920-е годы был признанным мировым лидером математиков.
Аксио́ма, или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Филосо́фия матема́тики — раздел философии науки, исследующий философские основания и проблемы математики: онтологические, гносеологические, методологические, логические и аксиологические предпосылки и принципы математики в целом, её различных направлений, дисциплин и теорий. В широком смысле философия математики занимается построением семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущности абстрактных объектов.
Те́зис Чёрча — Тью́ринга — логико-математический принцип, устанавливающий эквивалентность между интуитивным понятием алгоритмической вычислимости и строго формализованными понятиями частично рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга. В связи с интуитивностью исходного понятия алгоритмической вычислимости, данный тезис носит характер суждения об этом понятии и его невозможно строго доказать или опровергнуть. Перед точным определением вычислимой функции математики часто использовали неофициальный термин, «эффективно вычислимый» для описания функций, которые можно вычислить с помощью «бумажно-карандашных» методов.
Курт Фри́дрих Гёдель — австрийский логик, математик и философ математики. Наиболее известен сформулированными и доказанными им теоремами о неполноте, которые оказали огромное влияние на представление об основаниях математики. Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века.
Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
Теория вычислимости, также известная как теория рекурсивных функций, — это раздел современной математики, лежащий на стыке математической логики, теории алгоритмов и информатики, возникшей в результате изучения понятий вычислимости и невычислимости. Изначально теория была посвящена вычислимым и невычислимым функциям и сравнению различных моделей вычислений. В наши дни поле исследования теории вычислимости расширилось — появляются новые определения понятия вычислимости и идёт слияние с математической логикой, где вместо вычислимости и невычислимости идёт речь о доказуемости и недоказуемости утверждений в рамках каких-либо теорий.
Теорема Гёделя может означать одну из следующих теорем, доказанных Куртом Гёделем:
- Теорема Гёделя о компактности
- Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя
- Теорема Гёделя о полноте
Фри́дрих Лю́двиг Го́тлоб Фре́ге — немецкий логик, математик и философ. Представитель школы аналитической философии.
Ду́глас Ричард Хофшта́дтер — американский физик и информатик. Доктор, профессор.
Грегори Джон Хайтин — аргентино-американский математик и информатик, внёс вклад в метаматематику, совместно с Андреем Колмогоровым считается основателем алгоритмической теории информации. В частности, он известен своей новой теоремой о неполноте, схожей по духу с теоремой Гёделя о неполноте.
Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».
В 1906 году были различные научные и технологические события, некоторые из которых представлены ниже.
Вторая проблема Гильберта из знаменитых математических проблем, которые Давид Гильберт выдвинул в 1900 году в Париже на II Международном Конгрессе математиков. До сих пор среди математического сообщества нет консенсуса относительно того решена она или нет. Проблема звучит так: аксиомы арифметики противоречивы или нет? Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. Кроме Гёделя многие другие выдающиеся математики занимались этой проблемой.
Шафи Гольдвассер — израильско-американская учёная, исследовательница в области теории вычислительных систем, лауреат премии Тьюринга 2012 года. Является профессором по электротехнике в Массачусетском технологическом институте и по математике в институте Вейцмана.
Principia Mathematica — трёхтомный труд по логике и философии математики Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, выпущенный в 1910, 1912 и 1913 годах. Монография написана на английском языке, но название дано на латыни. Название переводилось на русский как «Принципы математики», «Начала математики» и «Основания математики».
Но́га Ало́н — израильский математик, известный своим вкладом в комбинаторику и теоретическую информатику.
Гипотеза в математике — утверждение, которое на основе доступной информации представляется с высокой вероятностью верным, но для которого не удаётся получить математическое доказательство. Математическая гипотеза является открытой математической проблемой, и каждую нерешённую математическую проблему, которая является проблемой разрешимости, можно сформулировать в форме гипотезы. Однако в виде гипотезы может быть сформулирована не всякая математическая проблема. Например, конкретное решение некоторой системы уравнений или задачи оптимизации для 2208 неизвестных предугадать невозможно, но такое решение может быть не только практическим, но и собственно математическим результатом.
В логике обычно используется много символов для выражения логических сущностей. Поскольку логики знакомы с этими символами, они не объясняют их каждый раз при использовании. Для студентов, изучающих логику, следующая таблица перечисляет большинство общеупотребимых символов вместе с их именами и связанными областями математики. Кроме того, третий столбец содержит неформальное определение, шестой и седьмой дают код Unicode и имя для использования в HTML документах. Последний столбец даёт символ в системе LaTeX.
Лазейка Гёделя — предполагаемое «внутреннее противоречие» в Конституции США, которое австрийско-американский логик, математик и аналитический философ Курт Гёдель постулировал в 1947 году. Лазейка позволила бы законно превратить американскую демократию в диктатуру. Гёдель рассказал своему другу Оскару Моргенштерну о существовании изъяна, а Моргенштерн в то же самое время рассказал о нём Альберту Эйнштейну. Однако в своих воспоминаниях об инциденте в 1971 году Моргенштерн не передал точную формулировку проблемы, которую обозначил Гёдель. Это привело к спекуляциям о точной природе того, что стало называться «лазейкой Гёделя». Ф. Э. Герра-Пухоль назвал её «одной из величайших нерешённых проблем конституционного права».
