Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю:

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}\end{bmatrix}}}$.

Диагональная матрица ${\displaystyle D}$ с элементами ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})}$, стоящими на главной диагонали, обозначается ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}}$.

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: ${\displaystyle D^{\intercal }=D}$. Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n}\}}$,

${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}}$.

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: ${\displaystyle \mathrm {det} \,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}}$.

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

${\displaystyle D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases}}}$.

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}}$.

Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме).