Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо объектов — элеме́нтов этого множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы.
Мо́щность, или кардина́льное число́, мно́жества — характеристика множеств, обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.
Бесконе́чное мно́жество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:
- Множество, в котором для любого натурального числа
найдётся конечное подмножество из элементов. - Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
- Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
- Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.
Конти́нуум-гипо́теза — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.
Парадо́кс Ра́ссела — теоретико-множественный парадокс (антиномия), открытый в 1901 году британским математиком Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело.
Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC называется следующее высказывание теории множеств:
Трансфинитная индукция — метод доказательства, обобщающий математическую индукцию на случай несчётного числа значений параметра.
Совершенное множество — замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.
В теории множеств порядковым числом, или ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными. Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.
Вычисли́мые фу́нкции — множество функций то есть отображения множества натуральных чисел во множество натуральных чисел, в математических обозначениях это 
которые могут быть реализованы некоторым, алгоритмом, описание которого конечно, например, описанием переходов некоторой машиной Тьюринга.
Равномощность — отношение двух произвольных множеств, означающее, нестрого говоря, что одно множество содержит столько же элементов, сколько и другое. Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Например, множество традиционных зодиакальных созвездий и множество рёбер куба равномощны, так как оба содержат по 12 элементов.
Разреши́мое множество — множество натуральных чисел, для которого существует алгоритм, получающий на вход любое натуральное число и через конечное число шагов завершающийся определением, принадлежит ли оно данному множеству. Другими словами, множество является разрешимым, если его характеристическая функция вычислима. Множество, не являющееся разрешимым, называется неразреши́мым. Также можно говорить о разрешимом множестве, состоящем из любых конструктивных объектов, кодируемых натуральными числами. Любое разрешимое множество является перечислимым и арифметическим. Разрешимые множества соответствуют уровню 
арифметической иерархии.
В математике вычислимое число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма.
Теорема Семереди — утверждение комбинаторной теории чисел о наличии длинных арифметических прогрессий в плотных множествах.
Неконструктивное доказательство — класс математических доказательств, доказывающих лишь существование в заданном множестве элемента, удовлетворяющего заданным свойствам, но не дающее никакой информации о других свойствах элемента, то есть не позволяющие ни предъявить его, ни приблизительно описать. Доказательства, которые доказывают существование элемента, предъявляя способ получения этого элемента, называются конструктивными.
Теорема Гёделя о компактности утверждает, что набор из предложений в логике первого порядка имеет модель, тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество предложений имеет модель.
В математическом анализе множество меры 0, также известное как «множество с нулевым содержимым» — измеримое по Лебегу множество действительных чисел, имеющее меру ноль. Его можно охарактеризовать как множество, которое можно покрыть счётным объединением интервалов произвольно малой общей длины.
