Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
Веще́ственное число́ — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.
Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида
Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.
Перечисли́мое мно́жество — множество конструктивных объектов, все элементы которого могут быть получены с помощью некоторого алгоритма. Дополнение перечислимого множества называется корекурсивно перечислимым. Всякое перечислимое множество является арифметическим. Корекурсивно перечислимое множество может не быть перечислимым, но всегда является арифметическим. Перечислимые множества соответствуют уровню 
арифметической иерархии, а корекурсивно перечислимые — уровню 
Деся́тая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода определения разрешимости произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.
Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.
Последовательность Сильвестра — целочисленная последовательность, в которой каждый очередной член равен произведению предыдущих членов плюс единица. Первые несколько членов последовательности:
- 2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, 10 650 056 950 807, 113 423 713 055 421 850 000 000 000, ….
Доля единицы — это рациональное число в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — положительное целое число. Доля единицы, таким образом, является обратным числом положительного целого числа, 1/n. Примеры — 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д.
Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.
Сюрреальные числа — обобщение обычных вещественных чисел и бесконечных порядковых чисел. Впервые были использованы в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр.
В математике, в области диофантовых приближений, теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа. Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и Вольфганга М. Шмидта.
