Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

Пусть $X$ — некоторое множество, а ${\mathcal {T}}$ — семейство всех его подмножеств. Тогда ${\mathcal {T}}$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара $(X,{\mathcal {T}})$ называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
Пусть $(X,\rho )$ — метрическое пространство, где метрика $\rho$ определена следующим образом:

\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.

Тогда $\rho$ называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

Пусть $X=\{1,\ldots ,n\},$ где $n\in \mathbb {N}$ , и $\rho$ — дискретная метрика на $X$ . Тогда $(X,\rho )$ — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
Пусть $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ и $\rho (x,y)=|x-y|.$ Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
Дискретное метрическое пространство ограничено.
Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

Тривиальная топология.

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Например, внутренность шара является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Подпростра́нство — понятие, используемое в различных разделах математики.

Индуци́рованная тополо́гия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Задача Штейнера о минимальном дереве состоит в поиске кратчайшей сети, соединяющей заданный конечный набор точек плоскости. Задача получила своё название в честь Якоба Штейнера (1796—1863).

ε-сеть для подмножества $\text{[math]}$ метрического пространства $\text{[math]}$ есть множество $\text{[math]}$ из того же пространства $\text{[math]}$ такое, что для любой точки $\text{[math]}$ найдётся точка $\text{[math]}$ , удалённая от $\text{[math]}$ не более чем на ε.

Мера Радона — мера на сигма-алгебре борелевских множеств на хаусдорфовом топологическом пространстве X, которая является локально конечной и внутреннее регулярной.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.