Дистрибутивность

Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон^[1] — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+»^[2], если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

(\forall x,y,z)\,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)

— дистрибутивность слева;

(\forall x,y,z)\,(y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)

— дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности^[], то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Следствия

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

-(x+y)=-1(x+y)=-1x+(-1)y=-x+(-y)=-x-y

Аналогично,

-(x-y)=-x+y;

-(x+y+z)=-x-y-z;

-(x+y-z)=-x-y+z;

-(x-y+z)=-x+y-z;

-(x-y-z)=-x+y+z

Например,

-(2-6+17)=-2+6-17=-13

Примечания

↑ Так это свойство называется в учебниках для младших классов
↑ Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.

См. также

Ассоциативность
Коммутативность

Похожие исследовательские статьи

А́лгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

<span class="mw-page-title-main">Сложение</span> математическая операция

Сложе́ние (прибавле́ние) — одна из основных бинарных математических операций двух аргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. То есть каждой паре элементов $\text{[math]}$ из множества $\text{[math]}$ ставится в соответствие элемент $\text{[math]}$ , называемый суммой $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Это одна из четырёх элементарных математических операций арифметики. Приоритет её в обычном порядке операций равен приоритету вычитания, но ниже, чем у возведения в степень, извлечения корня, умножения и деления. На письме сложение обычно обозначается с помощью знака «плюс»: $\text{[math]}$ .
Сложение возможно, только если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов. Так, на картинке справа запись $\text{[math]}$ обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме даёт пять яблок. Но нельзя сложить, например, 3 яблока и 2 груши.

Коммутативность, переместительный закон — свойство бинарной операции « $\text{[math]}$ », заключающееся в возможности перестановки аргументов:

\text{[math]}

для любых элементов

\text{[math]}

Бина́рная, или двуме́стная, опера́ция — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат.

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

Бина́рное (двуме́стное) отноше́ние (соответствие) — отношение между двумя множествами $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: $\text{[math]}$ . Бинарное отношение на множестве $\text{[math]}$ — любое подмножество $\text{[math]}$ , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество $\text{[math]}$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент, и каждый элемент множества имеет обратный. Раздел общей алгебры, занимающийся группами, называется теорией групп.

Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество $\text{[math]}$ , на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ . Элемент $\text{[math]}$ называется единицей и часто обозначается $\text{[math]}$ . В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Антикоммутативность — свойство мультипликативной бинарной операции в кольце: $\text{[math]}$ .

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

<span class="mw-page-title-main">Деление (математика)</span> действие, обратное умножению

Деле́ние — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием $\text{[math]}$ , обелюсом $\text{[math]}$ , косой чертой $\text{[math]}$ или записывается в виде дроби.

Почтикольцо — алгебра $\text{[math]}$ , бинарные операции сложения и умножения в которой обладают свойствами:

$\text{[math]}$ — группа ;
$\text{[math]}$ — полугруппа;
$\text{[math]}$ выполнено: $\text{[math]}$ .

Опера́ция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим интересные для исследований свойства.

Неассоциативное кольцо — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.