Дифференциальное тождество Бьянки

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

${\displaystyle (1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=0,}$

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку ${\displaystyle P}$ и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка ${\displaystyle P}$ произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.

В точке ${\displaystyle P}$ мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке ${\displaystyle P}$ имеем

${\displaystyle (2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.}$

Поскольку

${\displaystyle (3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},}$

то в точке ${\displaystyle P}$ имеем

${\displaystyle (4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.}$

Циклически переставляя в (4) индексы ${\displaystyle ijk}$, получим ещё два равенства:

${\displaystyle (5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s},}$

${\displaystyle (6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.}$

Легко видеть, что при сложении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения получится левая часть выражения (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.

• Алгебраическое тождество Бьянки