Дифференцирование сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Если функция ${\displaystyle f}$ имеет производную в точке ${\displaystyle x_{0}}$, а функция ${\displaystyle g}$ имеет производную в точке ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, то сложная функция ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ также имеет производную в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, ${\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0}),}$ где ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$ и ${\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }$ Пусть также эти функции дифференцируемы: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}$ Тогда их композиция также дифференцируема: ${\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}$ и её производная имеет вид:

${\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}$

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции ${\displaystyle y=y(x),}$ где ${\displaystyle x=x(t),}$ принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}$

Дифференциал функции ${\displaystyle z=g(y)}$ в точке ${\displaystyle y_{0}}$ имеет вид:

${\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}$

где ${\displaystyle dy}$ — дифференциал тождественного отображения ${\displaystyle y\to y_{0}}$:

${\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}$

Пусть теперь ${\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).}$ Тогда ${\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}$, и согласно цепному правилу:

${\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}$

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пусть ${\displaystyle h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;}$ Тогда функция ${\displaystyle h\;}$ может быть записана в виде композиции ${\displaystyle h=g\circ f,}$ где

${\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}$

${\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}$

Дифференцируя эти функции отдельно:

${\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}$

${\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}$

получаем

${\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}$

Пусть даны функции ${\displaystyle f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},}$ где ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$ и ${\displaystyle g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.}$ Пусть также эти функции дифференцируемы: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).}$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

${\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})}$.

В частности, матрица Якоби функции ${\displaystyle h}$ является произведением матриц Якоби функций ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle f:}$

${\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}$

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

  ${\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .}$

Для частных производных сложной функции справедливо

• ${\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.}$

Пусть дана функция трёх переменных ${\displaystyle h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;}$ и требуется найти её частную производную по переменной ${\displaystyle x}$. Функция ${\displaystyle h\;}$ может быть записана как ${\displaystyle h(x,y,z)=f(u,v,w),}$ где

${\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}$

${\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}$

${\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}$

${\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}$

Тогда частная производная функции ${\displaystyle h}$ по переменной ${\displaystyle x}$ будет иметь следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

Вычисляем производные:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}$

Подставляем найденные производные:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}$

В итоге

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}$

• Формула Фаа-ди-Бруно