Дифферинтеграл Вейля

В математике дифферинтеграл Вейля - это оператор, определённый на интегрируемых функциях f единичного круга (${\displaystyle 2\pi }$ — периодичных) с нулевым средним (т. е. интеграл от f по периоду равен 0). Другими словами функция f может быть разложена в ряд Фурье:

${\displaystyle f(\varphi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }}$

где ${\displaystyle a_{0}=0}$, или:

${\displaystyle f(\varphi )=\sum '_{n}a_{n}e^{in\varphi }}$,

где символ ${\displaystyle \sum '_{n}}$ обозначает суммирование по всем натуральным ${\displaystyle n}$ кроме 0.

Интеграл Вейля порядка ${\displaystyle \alpha >0}$ определяется на разложении в ряд Фурье как:

${\displaystyle f^{\alpha }(\varphi )=\sum '_{n}{\frac {a_{n}e^{in\varphi }}{(in)^{\alpha }}}}$,

а производная Вейля порядка ${\displaystyle \beta >0}$ определяется как:

${\displaystyle f_{\beta }(\varphi )={\frac {\partial ^{n}}{\partial \varphi ^{n}}}f_{n-\beta }(\varphi )}$.

Таким образом, дифферинтеграл Вейля определён полностью.

Условие ${\displaystyle a_{0}=0}$ необходимо в этих определениях, так как в противном случае возникало бы деление на 0.

Данное определение было введено Германом Вейлем в 1917 году.

• Пространство Соболева

• Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104