
Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий графы, одна из ветвей топологии. В самом общем смысле граф — это множество точек, которые соединяются множеством линий. Теория графов включена в учебные программы для начинающих математиков, поскольку:
- как и геометрия, обладает наглядностью;
- как и теория чисел, проста в объяснении и имеет сложные нерешённые задачи;
- не имеет громоздкого математического аппарата ;
- имеет выраженный прикладной характер.
Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре.
Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.

Задача Штейнера о минимальном дереве состоит в поиске кратчайшей сети, соединяющей заданный конечный набор точек плоскости. Задача получила своё название в честь Якоба Штейнера (1796—1863).
В теории графов паросочетание, или независимое множество рёбер в графе, — это набор попарно несмежных рёбер.
В теории графов древесная ширина неориентированного графа — это число, ассоциированное с графом. Древесную ширину можно определить несколькими эквивалентными путями: как размер наибольшего множества вершин в древесном разложении, как размер наибольшей клики в хордальном дополнении графа, как максимальный порядок убежища при описании стратегии игры преследования на графе или как максимальный порядок ежевики, набора связных подграфов, которые касаются друг друга. Древесная ширина часто используется в качестве параметра в анализе параметрической сложности алгоритмов на графах. Графы с шириной дерева, не превосходящей k, называются частичными k-деревьями. Многие другие хорошо изученные семейства графов также имеют ограниченную ширину дерева.

В теории графов ежевикой для неориентированного графа G называется семейство связных подграфов графа G, которые касаются друг друга: для любой пары подграфов, не имеющих общих вершин, должно существовать ребро, конечные вершины которого лежат в этих двух подграфах. Порядок ежевики — это наименьший размер множества вершин G, которое имеет непустое пересечение с каждым подграфом ежевики. Ежевики используются для описания древесной ширины графа G.
Упаковка множеств — это классическая NP-полная задача в теории вычислительной сложности и комбинаторике и является одной из 21 NP-полных задач Карпа.

В теории графов ориентированный граф может содержать ориентированные циклы, кольцо дуг, имеющих одно направление. В некоторых приложениях такие циклы нежелательны, мы можем исключить их и получить направленный ациклический граф. Один из способов исключения дуг — просто удаление дуг из графа. Разрезающий циклы набор дуг или разрезающий циклы набор рёбер — это множество дуг, которые, при удалении их из графа, образуют DAG. Рассматривая под другим углом, это множество, содержащее по меньшей мере одно ребро из каждого цикла графа.
В теории графов и комбинаторной оптимизации двудольная размерность или число бикликового покрытия графа G = (V, E) — это минимальное число биклик (то есть полных двудольных подграфов), необходимых, чтобы покрыть всё рёбра E. Набор биклик, покрывающих все рёбра в G, называется бикликовым покрытием рёбер, или просто бикликовым покрытием. Двудольная размерность графа G часто обозначается символом d(G).
Циклический ранг ориентированного графа — мера связности орграфа, предложенная Эгганом и Бучи. Это понятие интуитивно отражает, насколько близок орграф к направленному ациклическому графу, когда циклический ранг НАГ равен нулю, в то время как ориентированный орграф порядка n с петлями в каждой вершине имеет циклический ранг n. Циклический ранг ориентированного графа тесно связан с глубиной дерева неориентированного графа и высотой итерации регулярных языков. Циклический ранг нашёл применение также в вычислениях с разреженными матрицами и логике.
Лемма регулярности Семереди — лемма из общей теории графов, утверждающая, что вершины любого достаточно большого графа можно разбить на конечное число групп таких, что почти во всех двудольных графах, соединяющих вершины из двух разных групп, рёбра распределены между вершинами почти равномерно. При этом минимальное требуемое количество групп, на которые нужно разбить множество вершин графа, может быть сколь угодно большим, но количество групп в разбиении всегда ограничено сверху.

Евклидово минимальное остовное дерево — это минимальное остовное дерево набора из n точек на плоскости, где вес ребра между любой парой точек является евклидовым расстоянием между двумя точками. Простыми терминами, EMST связывает набор точек с помощью отрезков так, что общая длина всех отрезков минимальна и любая точка может быть достигнута из другой точки по этим отрезкам.
Геометрический остов или t-остовной граф, или t-остов первоначально был введён как взвешенный граф на множестве точек в качестве вершин, для которого существует t-путь между любой парой вершин для фиксированного параметра t. t-путь определяется как путь в графе с весом, не превосходящим в t раз пространственное расстояние между конечными точками. Параметр t называется коэффициентом растяжения остова.

Мощность неориентированного графа — характеристика графа, равная минимальному отношению количества рёбер, удалённых из графа, к числу компонент, полученных в результате такого удаления. Этот метод позволяет определить зоны высокой концентрации рёбер. Мощность графа сходна с понятием жёсткости графа, которая, однако, определяется через процедуру удаления вершин, а не рёбер.
Минимально критичное остовное дерево во взвешенном неориентированном графе — это остовное дерево, в котором наиболее тяжёлое ребро весит как можно меньше. Критичное ребро — это самое тяжёлое ребро в стягивающем дереве. Стягивающее дерево является минимальным критичным остовным деревом, если граф не содержит стягивающего дерева с критичным ребром меньшего веса. Для ориентированного графа аналогичная задача известна как минимально критичное стягивающее ориентированное дерево.
Винеровский каркас — средство максимизации эффективности соединений «выделенных вершин» в сети.

Примене́ние тео́рии гра́фов — использование теории графов как математического орудия в различных дисциплинах.