Египетский математический кожаный свиток

Египетский математический кожаный свиток
Египетский математический кожаный свиток
	Egyptian Mathematical Leather Roll
Язык оригинала	среднеегипетский
Оригинал издан	ок. 1650 до н.э.
Выпуск	1927

Египетский математический кожаный свиток — древнеегипетский кожаный свиток размером 25×43 см, приобретённый Александром Генри Риндом^[англ.] в 1858 году. В 1864 году вместе с папирусом Ахмеса он попал в Британский музей, но до 1927 года не подвергался химическому воздействию и не разворачивался.

Текст написан справа налево иератикой периода Среднего царства и датируется XVII веком до н. э.^[1].

Содержание

Кожаный свиток составлен для вычисления египетских дробей и содержит 26 сумм аликвотных дробей (то есть дробей с числителем 1), которые равны другой аликвотной дроби. Суммы перечислены в двух столбцах, в следующих двух столбцах содержатся точно такие же суммы^[2].

Из 26 перечисленных сумм 10 — это числа Ока Гора: ${\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{4}}$ (дважды), ${\frac {1}{8}}$ (трижды), ${\frac {1}{16}}$ (дважды), ${\frac {1}{32}}$ , ${\frac {1}{64}}$ , преобразованные из египетских дробей. Есть ещё семь сумм, в которых чётные знаменатели пересчитаны из египетских дробей: ${\frac {1}{6}}$ (указано дважды, но единожды неверно), ${\frac {1}{10}}$ , ${\frac {1}{12}}$ , ${\frac {1}{14}}$ , ${\frac {1}{20}}$ и ${\frac {1}{30}}$ . Например, три преобразования ${\frac {1}{8}}$ следовали за одним или двумя масштабными множителями, как альтернативой:

${\frac {1}{8}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {3}{24}}={\frac {2+1}{24}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}$
${\frac {1}{8}}\times {\frac {5}{5}}={\frac {5}{40}}={\frac {4+1}{40}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}$
${\frac {1}{8}}\times {\frac {25}{25}}={\frac {25}{200}}={\frac {8+17}{200}}={\frac {1}{25}}+({\frac {17}{200}}\times {\frac {6}{6}})={\frac {1}{25}}+{\frac {102}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {80+16+6}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}$

Наконец, 9 сумм с нечётными знаменателями переведены из египетских дробей: ${\frac {2}{3}}$ , ${\frac {1}{3}}$ (дважды), ${\frac {1}{5}}$ , ${\frac {1}{7}}$ , ${\frac {1}{9}}$ , ${\frac {1}{11}}$ , ${\frac {1}{13}}$ и ${\frac {1}{15}}$ .

Эксперты Британского музея не нашли ни введения, ни описания того, как и почему были рассчитаны серии эквивалентных долей^[3]. Эквивалентные дроби связаны с ${\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{4}}$ , ${\frac {1}{8}}$ и ${\frac {1}{16}}$ . Произошла ошибка, связанная с последней ${\frac {1}{15}}$ серией дробей. Серия ${\frac {1}{15}}$ названа равной ${\frac {1}{6}}$ . Другая серьёзная ошибка связана с ${\frac {1}{13}}$ , которую эксперты 1927 года не попытались решить.

Современный анализ

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда берутся вычисления и формулы. То же касается и кожаного свитка. Учёные предположили, что методы древних египтян, возможно, использовались для построения таблицы дробей в свитке, Папирусе Ахмеса и Математическом папирусе из Лахуна^[англ.]. Оба типа таблиц использовались, чтобы помочь при вычислениях дробей и составления единиц измерения^[2].

В кожаном свитке имеются группы схожих дробей. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$ . Легко вывести строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно^[4].

Некоторые проблемы поддаются решению с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее деление полученного уравнения:

{\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}

Этот метод приводит к решению дроби ${\frac {1}{8}}$ из свитка, где N = 25 (с использованием современных математических обозначений)^[5]:

{\frac {1}{8}}={\frac {1}{25}}\times {\frac {25}{8}}={\frac {1}{5}}\times {\frac {25}{40}}={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {3}{5}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {1}{5}}+{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}

С момента прочтения свитка в 1927 году он расценивается как обучающее пособие писцам. Писец тренировался в преобразовании рациональных чисел 1/p и 1/pq в равные дроби.

Хронология

Следующая хронология показывает несколько этапов, которые ознаменовали недавний прогресс в познании расчётов свитка, связанного с таблицей 2/n Математического папируса Ринда.

1895 — Гульч предположил, что все серии 2/p папируса закодированы кратными частями^[6].
1927 — Гланвилл^[англ.] пришёл к выводу, что арифметика кожаного свитка сводилась к сложению^[7].
1929 — по мнению Фогеля^[нем.], кожаный свиток важнее папируса Ринда, несмотря на то, что содержит лишь 25 рядов дробей^[8].
1950 — Брёйнс^[нем.] независимо подтверждает выводы Гульча^[9].
1972 — Джиллингс нашёл решение наиболее простой проблемы папируса Ринда — серия 2/pq^[10].
1982 — Кнорр^[англ.] идентифицирует дроби папируса Ринда 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из 2/pq^[11].
2002 — Гарднер выделяет пять отдельных структур свитка^[5].

См. также

Египетские математические тексты:

Московский математический папирус
Математический папирус из Лахуна^[англ.]
Берлинский папирус 6619^[англ.]
Деревянная табличка Ахмима^[англ.]
Папирус Райзнера^[англ.]
Папирус Ахмеса

Другое:

Книга Абака
Сильвия Кушу^[фр.]

Примечания

↑ Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. — С. 17–18, 25, 37–38, 255–257.
↑ ¹ ² Annette Imhausen. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook / Victor J. Katz. — 2007. — С. 21–22.
↑ Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it? // Historia Mathematica. — 1981. — С. 456–457.
↑ Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover Publications, 1982. — ISBN 0-486-24315-X.
↑ ¹ ² Gardner, Milo. The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav. — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. — С. 119–134.
↑ Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen. — 1895. — С. 167–171.
↑ Glanville, S. R. K. The Mathematical Leather Roll in the British Museum // Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1927. — № 13. — С. 232–238.
↑ Vogel, Kurt. Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik // Archiv für Geschichte der Mathematik. — Berlin: Julius Schuster, 1929. — Т. 2. — С. 386–407.
↑ Bruins, Evert M. Platon et la table égyptienne 2/n // Janus. — Amsterdam, 1957. — № 46. — С. 253–263.
↑ Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Roll. — Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1972. — С. 95—96.
↑ Knorr, Wilbur R. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece // Historia Mathematica. — Berlin, 1982. — № 9. — С. 133–171.

Ссылки

EMLR Egyptian Mathematical Leather
Теоретические (ожидаемые) контрольные числа
RMP 35 - 38 плюс RMP 66

[1] Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. — С. 17–18, 25, 37–38, 255–257.

[:0-2] ¹ ² Annette Imhausen. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook / Victor J. Katz. — 2007. — С. 21–22.

[3] Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it? // Historia Mathematica. — 1981. — С. 456–457.

[4] Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover Publications, 1982. — ISBN 0-486-24315-X.

[:1-5] ¹ ² Gardner, Milo. The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav. — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. — С. 119–134.

[6] Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen. — 1895. — С. 167–171.

[7] Glanville, S. R. K. The Mathematical Leather Roll in the British Museum // Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1927. — № 13. — С. 232–238.

[8] Vogel, Kurt. Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik // Archiv für Geschichte der Mathematik. — Berlin: Julius Schuster, 1929. — Т. 2. — С. 386–407.

[9] Bruins, Evert M. Platon et la table égyptienne 2/n // Janus. — Amsterdam, 1957. — № 46. — С. 253–263.

[10] Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Roll. — Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1972. — С. 95—96.

[11] Knorr, Wilbur R. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece // Historia Mathematica. — Berlin, 1982. — № 9. — С. 133–171.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$
${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$
${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$
${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$	${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$	${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$
${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$
${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$	${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$
${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$	${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$
${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$
${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$