Жёсткость (геометрия)

Жёсткость — свойство подмногообразия $M$ в евклидовом пространстве (или, более обще, в пространстве постоянной кривизны), заключающееся в том, что любая его изометрическая вариация (бесконечно малое изгибание) является тривиальной, то есть соответствующее её поле скоростей на $M$ индуцируется полем Киллинга на $M$ . Вопрос о жёсткости подмногообразий — по существу вопрос о единственности решения системы дифференциальных уравнений, являющихся линеаризацией системы уравнений для изометричных изгибаний подмногообразия. В частности, если подмногообразие допускает нетривиальное изометрическое изгибание, то оно не является жёстким.

Примеры

Замкнутая строго выпуклая поверхность — жёсткая.
Тор — жёсткий.
Кусок плоскости с закрепленным краем — нежёсткий.
Сферический сегмент $S$ , скользящий краем по плоскости, будет жёстким или нет в зависимости от того, меньше или больше $S$ полусферы.
Метрическое произведение $k$ двумерных сфер $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ является жёстким в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3k}$ и нежёстким в $\mathbb {R} ^{3k+1}$ .

Вариации

Понятие жёсткости переносится также на многогранники, см. теорема Коши о многогранниках.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов.

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие $\text{[math]}$ класса $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , допускает изометрическое $\text{[math]}$ вложение в $\text{[math]}$ для достаточно большого $\text{[math]}$ .

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Антидеси́ттеровское простра́нство — псевдориманово многообразие постоянной отрицательной кривизны. Его можно считать псевдоримановым аналогом $\text{[math]}$ -мерного гиперболического пространства. Названо как противопоставление пространству де Ситтера, обозначается обычно $\text{[math]}$ .

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны $\text{[math]}$ .

Вторая квадратичная форма поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Геодезическая кривизна $\text{[math]}$ кривой $\text{[math]}$ в римановой геометрии измеряет, насколько далеко кривая отличается от геодезической. Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство, это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более обще, в заданном многообразии $\text{[math]}$ геодезическая кривизна ― это обычная кривизна кривой $\text{[math]}$ . Однако если кривая $\text{[math]}$ лежит в подмногообразии $\text{[math]}$ многообразия $\text{[math]}$ , геодезическая кривизна относится к кривизне $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ , и она отличается в общем виде от кривизны $\text{[math]}$ в объемлющем многообразии $\text{[math]}$ . (Объемлющая) кривизна $\text{[math]}$ кривой $\text{[math]}$ зависит от двух факторов ― кривизны подмногообразия $\text{[math]}$ в направлении $\text{[math]}$ , которая зависит только от направления кривой и кривизны $\text{[math]}$ в многообразии $\text{[math]}$ , которая является величиной второго порядка. Связь между ними ― $\text{[math]}$ . В частности, геодезические на $\text{[math]}$ имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Изгибаемый многогранник</span>

Изгибаемый многогранник — многогранник, чью пространственную форму можно изменить непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров, а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется непрерывным изгибанием многогранника.

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Пове́рхность Дарбу́ — двумерная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве $\text{[math]}$ , на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу.

Эта страница содержит список правильных многомерных многогранников (политопов) и правильных cоединений этих многогранников в евклидовом, сферическом и гиперболическом пространствах разных размерностей.

Плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ . Была построена в 1933 году Руфь Муфанг и названа в честь Артура Кэли.

<span class="mw-page-title-main">Тор Клиффорда</span> четырёхмерное тело

Тор Клиффорда — простейшее и наиболее симметричное вложение тора $\text{[math]}$ в четырёхмерное евклидово пространство $\text{[math]}$ . При этом $\text{[math]}$ -факторы лежат в своих независимых двумерных пространствах, результирующее пространство произведения будет $\text{[math]}$ , а не $\text{[math]}$ .

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности $\text{[math]}$ — единственное полное односвязное $\text{[math]}$ -мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной $\text{[math]}$ . Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Двумерное пространство Лобачевского $\text{[math]}$ называется плоскостью Лобачевского.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.