Задача Ситникова

Задача Ситникова — вариант задачи трёх тел, названный по фамилии советского математика Кирилла Александровича Ситникова и касающийся движения трёх тел под действием взаимного гравитационного притяжения. Частный случай задачи Ситникова рассмотрел в 1911 году американский учёный Уильям МакМиллан, но в современном смысле задача была исследована Ситниковым в 1961 году.

Система состоит из двух главных тел с одинаковой массой ${\displaystyle \left(m_{1}=m_{2}={\tfrac {m}{2}}\right)}$, двигающихся по круговой или эллиптической кеплеровой орбите вокруг общего центра масс. Третье тело значительно меньше главных тел, его массу можно считать нулевой ${\displaystyle (m_{3}=0)}$, оно движется под действием главных тел в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты главных тел. Начало координат системы находится в центре масс. Суммарная масса главных тел ${\displaystyle m=1}$, орбитальный период равен ${\displaystyle 2\pi }$, большая полуось орбиты главных тел ${\displaystyle a=1}$. Гравитационная постоянная в выбранной системе единиц равна 1. В данной задаче третье тело двигается вдоль одного направления — оси z.

Для получения уравнений движения в случае круговых орбит главных тел используем выражение для полной энергии ${\displaystyle \,E}$:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{r}}.}$

После дифференцирования по времени уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{r^{3}}}.}$

Также справедливо равенство

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}.}$

Следовательно, уравнение движения представимо в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {1+z^{2}}}\right)^{3}}},}$

который описывает точно решаемую систему, поскольку она обладает только одной степенью свободы и допускает интеграл движения — энергию.

Если же главные тела двигаются по эллиптическим орбитам, то уравнение движения имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {\rho (t)^{2}+z^{2}}}\right)^{3}}},}$

где ${\displaystyle \rho (t)=\rho (t+2\pi )}$ — расстояние от главного тела до общего центра масс. В таком случае система обладает 1,5 степенями свободы и является хаотической.

Хотя почти невозможно в реальности обнаружить или создать такую систему трёх небесных тел, которая рассматривается в задаче Ситникова, всё же задача имеет важное значение: хотя она и представляет собой простой случай задачи трёх тел, но при решении задачи можно столкнуться с различными характеристиками хаотических систем.

• Небесная механика
• Задача двух тел

• K. A. Sitnikov: The existence of oscillatory motions in the three-body problems. In: Doklady Akademii Nauk SSSR, 133/1960, pp. 303–306, ISSN 0002-3264 (English Translation in Soviet Physics. Doklady., 5/1960, S. 647–650)
• K. Wodnar: The original Sitnikov article – new insights. In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 56/1993, pp. 99–101, ISSN 0923-2958, pdf
• D. Hevia, F. Rañada: Chaos in the three-body problem: the Sitnikov case. In: European Journal of Physics, 17/1996, pp. 295–302, ISSN 0143-0807, pdf
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084
• J. Moser: "Stable and Random Motion", Princeton Univ. Press, 1973, ISBN 978-0691089102