Замкнутое множество
Замкнутое множество — подмножество топологического пространства с топологией , дополнение к которому открыто: . Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году[1].
Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .
Замыкание множества топологического пространства — минимальное по включению замкнутое множество , содержащее . Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.
Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества [2].
Примечания
- ↑ G. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392.
- ↑ Александров П. С., Пасынков В. А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.