Избыточное число

Перейти к навигации Перейти к поиску

Избыточное число — положительное целое число $n$ , сумма положительных собственных делителей (отличных от $n$ ) которого превышает $n$ .

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.

Первые избыточные числа^[1]:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

Число 48, например, является избыточным, поскольку 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является 12. Наименьшим нечётным избыточным числом является 945.

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина $I(N)=\sigma (N)/N$ , где $\sigma (N)$ — сумма делителей числа (для совершенных чисел $I(N)=2$ ).

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность $\{a_{k}\}$ минимальных чисел $N$ , таких что $I(N)>k$ ^[2].

Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

Специальные классы избыточных чисел — сверхизбыточные числа^[англ.], слегка избыточные числа (их существование — открытая проблема).

Примечания

↑ последовательность A005101 в OEIS
↑ последовательность A134716 в OEIS

Литература

D. Iannucci. On the smallest abundant number not divisible by the first k primes // Bulletin of the Belgian Mathematical Society^[англ.]. — 2005. — Т. 12, вып. 1. — С. 39–44. — doi:10.36045/bbms/1113318127.

Числа по характеристикам делимости
Общие сведения	Факторизация целых чисел Делимость Унитарный делитель Функция делителей Простое число Основная теорема арифметики Арифметическое число
Факторизационные формы	Простое число Составное число Полупростое число Прямоугольное число Сфеническое число Бесквадратное число Полнократное число Совершенная степень Ахиллесово число Гладкое число Регулярное число Грубое число Необычное число
С ограниченными делителями	Совершенное число Слегка недостаточные числа Слегка избыточные числа Мультисовершенное число Гемисовершенные числа Гиперсовершенное число Суперсовершенное число Унитарное простое Полусовершенное число Параритмическое число Число Эрдёша-Николя
Числа с многими делителями	Избыточные числа Примитивные избыточные числа Высокоизбыточные числа Суперизбыточные числа Колоссально избыточные числа Сверхсоставное число Весьма суперсоставное число Странное число
Связанные с аликвотными последовательностями	Неприкосновенное число Дружественные числа Общественные числа Квазидружественные числа
Другое	Недостаточные числа Приятельские числа Сублимированные числа Числа Оре Скромное число Равноцифровые числа Экстравагантное число

Похожие исследовательские статьи

Соверше́нное число́ — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей. Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей 1 + 2 + 3. Это понятие было введено пифагорейцами в VI веке до н. э.; согласно их нумерологической мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа.

Слегка избыточное число — избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа.

Недостаточное число — натуральное число, сумма собственных делителей которого меньше самого числа. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: недостаточные числа, совершенные числа, избыточные числа.

Дружественные числа — пара различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел $\text{[math]}$ называют дружественной, если:

\text{[math]}

\text{[math]}

Полусоверше́нное число́ — натуральное число, сумма всех или некоторых собственных делителей которого совпадает с самим этим числом.

Странное число — натуральное число, которое является избыточным, но не является полусовершенным. Другими словами, сумма собственных делителей числа больше самого числа, но сложением подмножества делителей нельзя получить само число.

Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел $\text{[math]}$ и принимающая значения из множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

Неприкоснове́нное число́ — положительное целое число, которое не может быть выражено как сумма всех собственных делителей любого целого положительного числа.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

<span class="mw-page-title-main">Функция делителей</span> теоретико-числовая функция

Фу́нкция дели́телей — арифметическая функция, связанная с делителями целого числа. Функция известна также под именем фу́нкция диви́зоров. Применяется, в частности, при исследовании связи дзета-функции Римана и рядов Эйзенштейна для модулярных форм. Изучалась Рамануджаном, который вывел ряд важных равенств в модульной арифметике и арифметических тождествах.

Суперсовершенное число — натуральное число n, такое, что:

\text{[math]}

Весьма избыточное число или высокоизбыточное число — это натуральное число, сумма делителей которого больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.

Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно

В теории чисел, гемисовершенные числа это положительные целые числа с полуцелым индексом избыточности( $\text{[math]}$ ).

Приятельские числа — два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.

<span class="mw-page-title-main">Весьма суперсоставное число</span>

В математике весьма суперсоставное число — это натуральное число, которое имеет больше делителей, чем любое другое число, масштабируемое относительно некоторой положительной степени самого числа. Это более сильное ограничение, чем ограничение сверхсоставного числа, которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Колоссально избыточное число — натуральное число $\text{[math]}$ , которое в определённом строгом смысле имеет много делителей: существует $\text{[math]}$ такое, что для всех $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Суперизбыточное число — натуральное число $\text{[math]}$ такое, что для всех $\text{[math]}$ выполнено

\text{[math]}

В математике примитивно избыточное число — это избыточное число, все собственные делители которого являются недостаточными числами.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Новый Britannica (онлайн)