Известные распределения случайных величин

На данной странице представлены основные сведения об известных типовых распределениях случайных величин, которые не были рассмотрены на странице Распределение вероятностей

Название	Плотность (последовательность вероятностей)	Параметр
Бореля-Таннера[1];[2][3]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {k}{(x-k)!}}x^{x-k-1}e^{-\alpha x}\alpha ^{x-k},x=k,k+1,k+2,...}$	α — форма; k — мин. значение
Вырожденное[1]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{\alpha \})=1}$	α — значение величины
Гипергеометрическое[1][4][5][6];[7][8][9][10][11][12]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}},x=max\{0,n-M\},1,2,...,min\{M,n\}}$	N — объём ген. совокупности, M — количество отмеченных элементов, n — объём выборки
Логарифмическое[1][7];[11]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {-q^{x}}{x\ln(1-q)}},x=1,2,3,...}$	q — вероятность события
Отрицательное биномиальное (Паскаля)[1];[6][8][10][11][13][14][15][16]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})=C_{r+x-1}^{x}p^{r}(1-p)^{x},x=0,1,2,...}$	r — количество успехов; p — вероятность успеха
Отрицательное гипергеометрическое[1][17]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{x+m-1}^{x}C_{N-m-x}^{M-m}}{C_{N}^{M}}},x=0,1,2,...,(N-M)}$	N — объём ген. совокупности, M — число отмеченных элементов, m — требуемое число отмеченных элементов
Пойа[1][18]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{(b/c)+x-1}^{x}C_{(r/c)+n-x-1}^{n-x}}{C_{((b+r)/c)+n-1}^{n}}},x=0,1,2,...,n}$	b — количество «черных», r — «красных», n — извлекаемых шаров, c — возвращаемых вместе с выбранным того же цвета

Название	Функция плотности распределения	Параметры
α (альфа)[19];[20]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {c\beta }{t^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\alpha t-\beta )^{2}}{2t^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}} \,\,c=\left({\frac {1}{2}}+\Phi (\alpha )\right)^{-1}}$	α — форма, β — масштаб
χ (хи)[1][11]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{n-1}}{2^{n/2-1}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	n — число степеней свободы
L-распределение Сосновского[21]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\eta \gamma \left(1-(1-x)^{\eta }\right)^{\gamma -1}}{(1-x)^{1-\eta }}},&x\in [0,1],\\0,&x\not \in [0,1]\end{cases}} }$	η, γ -форма
T2-Хотеллинга[1]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\,\,x^{k/2-1}\,\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n-k}{2}}\right)\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\,n^{k/2}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	n, k — число степеней свободы
Z-Фишера[1];[7][22]	${\displaystyle \mathrm {\frac {2m_{1}^{m_{1}/2}m_{2}^{m_{2}/2}\Gamma \left({\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}\right)e^{-m_{1}x}}{\Gamma \left({\frac {m_{1}}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {m_{2}}{2}}\right)\left(m_{1}e^{2x}+m_{2}\right)^{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}}} }$	m1, m2 — степени свободы
Арксинуса обобщенное[1]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\sin(\pi \alpha )}{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1},&x\in (0,1),\\0,&x\not \in (0,1)\end{cases}} }$	α — форма
Берра[1]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha \beta \,x^{\alpha -1}\,}{\left(1+x^{\alpha }\right)^{\beta +1}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	α — форма, β — масштаб
Бирнбаума-Саундерса[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {{\sqrt {\frac {x}{\theta }}}+{\sqrt {\frac {\theta }{x}}}}{2\beta x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left({\sqrt {\frac {x}{\theta }}}-{\sqrt {\frac {\theta }{x}}}\right)^{2}}{2\beta ^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	β — форма; θ — масштаб
Вальда (инверсное Гаусса)[10];[6]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\,\exp \left(-{\frac {\lambda \left(x-\mu \right)^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	μ — масштаб; λ — форма
Вон Мизеса[10]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp \left(b\cos(x-a)\right)}{2\pi BesselI(0,b)}},&x\in [0,2\pi ],\\0,&x\not \in [0,2\pi ]\end{cases}} }$	a — мода, b — форма
Гиперэкспоненциальное[2]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}\lambda _{k}\,exp\left(-\lambda _{k}x\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	αi - форма; λi - масштаб
Гумбеля макс. (экстремальных, максимальных значений, тип I)[12];[6][10][21][23][24]	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{\beta }} \exp \left(-{\frac {x-\alpha }{\beta }}-\exp \left(-{\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)\right)}$	α — мода; β — масштаб
Гумбеля мин. (экстремальных, минимальных значений, тип I)[1][12];[13][21][23][24]	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{\beta }} \exp \left({\frac {x-\alpha }{\beta }}-\exp \left({\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)\right)}$	α — мода; β — масштаб
Двойное экспоненциальное (экстремальных значений, тип I)[4]	${\displaystyle \mathrm {\alpha } \beta \,\exp \left(-\alpha x-\beta \,\exp \left(-\alpha x\right)\right)}$	α — масштаб; β — форма
Джонсона несвязанное[14]	${\displaystyle \mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {1}{2}}\left[\alpha _{1}+\alpha _{2}\ln \left({\frac {x-\gamma }{\beta }}+{\sqrt {\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{2}+1}}\right)\right]^{2}\right)}{\alpha _{2}^{-1}{\sqrt {(x-\gamma )^{2}+\beta ^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}} }$	α1 , α2 — форма; γ — положение; b — масштаб
Джонсона связанное[14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\ln \left({\frac {x-a}{b-x}}\right)\right)^{2}\right)}{\alpha _{2}^{-1}(b-a)^{-1}(x-a)(b-x){\sqrt {2\pi }}}},&x\in [a,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}} }$	α1 , α2 — форма; a — положение; (b — a) — масштаб
Инверсное Вейбулла[25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{-\beta }\beta }{(x-\lambda )^{\beta +1}}}\,\exp \left(-\left(\alpha (x-\lambda )\right)^{-\beta }\right),&x\geq \lambda ,\\0,&x<\lambda \end{cases}} }$	α — форма; β — масштаб; λ — сдвиг
Лог-логистическое (1)[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp(z)}{\beta x(1+z)^{2}}},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}} z={\frac {\ln(x)-\lambda }{\beta }}}$	β — форма; λ — масштаб
Лог-логистическое (2)[14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }}}\left(1+\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha }\right)^{-2},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	α — форма; β — масштаб
Максвелла[1];[10][12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{3}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	σ — масштаб
Мойяла[10]	${\displaystyle \mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {x-\mu }{2\sigma }}-{\frac {1}{2}}exp\left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right)}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}} }$	μ — положение; σ — масштаб
Нормальное сложенное[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\,\cosh \left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {x^{2}+\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	μ - сдвиг, σ - масштаб
Нормальное, усеченное слева[8][21][26][27][28]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {c}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>x_{0},\\0,&x\leq x_{0},\end{cases}} \,\,c=\left({\frac {1}{2}}-\Phi \left({\frac {x_{0}-\mu }{\sigma }}\right)\right)}$	x0 — точка усечения, μ — положение, σ — разброс
Парето[1][8];[10][11][12][25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha }{x_{0}}}\left({\frac {x_{0}}{x}}\right)^{\alpha +1},&x>x_{0},\\0,&x\leq x_{0}\end{cases}} }$	α — масштаб, х0 — мин. значение
Пирсона, тип V[14][25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{-(\alpha +1)}}{\beta ^{-\alpha }\Gamma (\alpha )}}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} \ }$	α — форма; β — масштаб
Пирсона, тип VI[14][25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\beta \,\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2})\,\left(1+{\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} \ }$	α1 , α2 — форма; β — масштаб
Степенное[10]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {cx^{c-1}}{b^{c}}},&x\in [0,b],\\0,&x\not \in [0,b]\end{cases}} }$	b — макс. значение, c — форма
Трапецеидальное	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b+d-a-c)(c-a)}},&x\in [a,c],\\{\frac {2}{b+d-a-c}},&x\in (c,d],\\{\frac {2(b-x)}{(b+d-a-c)(b-d)}},&x\in (d,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}} }$	a — мин., b — макс. значение; c, d — координаты верхнего основания трапеции
Трапеции прямоугольной[14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{a+2x(1-a)},&x\in [0,1],\\0,&x\not \in [0,1]\end{cases}} }$	a — высота основания слева
Треугольное (Симпсона)[12][14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&x\in [a,c],\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&x\in (c,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}} }$	a — мин., b — макс., c — наиболее вероятное значение
Фреше (экстремальных значений, тип II)[6]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\exp \left(-\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{-\alpha }\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	α — форма; β — масштаб
Экспоненциальное степенное[12];[10]	${\displaystyle \mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {|x-\mu |}{\phi }}\right)^{\frac {2}{1+\beta }}\right)}{\phi \,2^{\left({\frac {1+\beta }{2}}+1\right)}\Gamma \left({\frac {1+\beta }{2}}+1\right)}} }$	m — медиана, f — масштаб, b — форма
Экстремальных значений модифицированное[13]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {1}{\lambda }}\exp \left({x-{\frac {\exp(x)-1}{\lambda }}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	λ — форма
Эрланга[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}\,\lambda ^{\alpha }}{(\alpha -1)!}}e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	α — форма; λ — масштаб

• Андронов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. / А. М. Андронов, Е. А. Копытов, Л. Я. Гринглаз. СПб.: Питер, 2004. 461 с.
• Афифи, А. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. / А. Афифи, С. Эйзен. М.: Мир, 1982. 486 с.
• Герасимович, А. И. Математическая статистика. / А. И. Герасимович. Мн: Вышэйшая шко-ла, 1983. 275 с.
• Ефремова, Н. Ю. Оценка неопределенности в измерениях: Практическое пособие. / Н. Ю. Ефремова. Мн.: БелГИМ, 2003. 50 с.
• Каазик, Ю. Я. Математический словарь. / Ю. Я. Каазик. Таллинн: Валгус, 1985. 296 с.
• Капур, К. Надежность и проектирование систем. / К. Капур, Л. Ламберсон. М.: Мир, 1980. 606 с.
• Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. 720 с.
• Ликеш, И. Основные таблицы математической статистики. / И. Ликеш, И. Ляго. М.: Финансы и статистика, 1985. 356 с.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Сов. энциклопедия. В 5-ти томах, 1977.
• Орлов, А. И. Прикладная статистика: учебник / А. И. Орлов. М.: Издательство «Экзамен», 2006. 671 с.
• Половко, А. М. Основы теории надежности. / А. М. Половко, С. В. Гуров. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 704 с.
• Решетов, Д. Н. Надежность машин. / Д. Н. Решетов, А. С. Иванов, В. З. Фадеев. М. Высш. шк., 1988. 238 c.
• Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989, 1990.
• Харин, Ю. С. Практикум на ЭВМ по математической статистике. / Ю. С. Харин, М. Д. Степанова. Мн.: «Университетское», 1987. 304 с.
• Хастингс, Н. Справочник по статистическим распределениям. / Н. Хастингс, Дж. Пикок. М.: Финансы и статистика, 1987. 95 с.
• SPSS, Inc. (2004). SPSS V.13. Help.