Изгиб круглой пластины с закреплёнными краями под действием пореречной силы. Левая половина пластины показывает деформированную форму, а правая половина — недеформированную. Этот расчет произведён с использованием программы Ansys.
Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах (в общем случае произвольной толщины, но малым по сравнению с продольными размерами), под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально (в ненапряжённом состоянии) имеет плоскую форму.
Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 г. который исправил доклад Софи Жермен.
Большой прогиб тонких прямоугольных пластин
Большой прогиб тонких прямоугольных пластин описывается уравнениями для пластины Феппля — фон Кармана
где функция напряжения.
Круглые пластины Кирхгофа-Лява
Изгиб круглых пластин можно изучить, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 году. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. z расстояние точки от средней плоскости пластины.
Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид
В цилиндрических координатах ,
Для симметрично нагруженных круглых пластин, где изгиб зависит от только радиуса получим
Следовательно, основное уравнение приобретёт вид обыкновенного дифференциального уравнения[5]
Если и постоянны, то прямое интегрирование основного уравнения имеет решение
где константы интегрирования. Наклон отклоняющей поверхности равен
Для круглой пластины требование конечности прогиба и крутизны прогиба при подразумевает, что . Однако, не обязательно равняется 0, так как правый предел существует по мере приближения к началу координат .
Закрепленные края
Для круглой пластины (радиуса a) с зажатыми краями и на краю пластины. Подставляя эти граничные условия в общее решение получаем[6]
Смещения пластины в плоскости равны
Плоские деформации в пластине равны
Напряжения в плоскости пластины равны
Для плиты толщиной , жесткость на изгиб и
Результирующие моменты (изгибные моменты) равны
Максимальное радиальное напряжение при и :
где . Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равны[7]
Круговая пластина нагруженная силой зависящей от радиуса
Изгиб прямоугольной пластины под действием распределенной силы на единицу площади.
Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина опирается на края. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонент ряда Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (одна гармоника Фурье), а затем сложить гармоники Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.
Здесь амплитуда, ширина пластины в направлении и ширина пластины в направлении .
Поскольку пластина просто поддерживается на краях, то смещение на краях пластины равно нулю, и изгибающий момент также равен нулю на границах и , равен нулю на границах и .
При этих граничные условиях и решение уравнения для пластины имеет вид[10]
Где D жесткость на изгиб
Analogous to flexural stiffness EI.[11] Напряжения и деформации в пластине можно рассчитать, если знаем смещение.
Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:
Свободно опёртая пластина с общей нагрузкой
Предполагаем решение вида
Частные дифференциалы этой функции даются выражениями
Подставляя эти выражения в уравнение для пластины, получим
Приравнивая два ряда получим для коэффициентов
или при перестановки получим
Прогиб свободно опертой пластины (на углах) при общей нагрузке задаётся выражением[13]
Свободно опёртая пластина с постоянной нагрузкой
Для равномерно распределенной нагрузки имеем
Таким образом, соответствующий коэффициент Фурье определяется выражением
.
Вычисляя двойной интеграл, имеем
,
или в другом виде кусочно-заданной функции
Прогиб свободно опертой пластины (с условиями на углах) с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением
Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением
Решение Леви
Другой подход был предложен Леви[14] в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры так, чтобы выполнялись определяющее уравнение и граничные условия. Цель — найти рашения основного уравнения такие, что они удовлетворяют граничным условиям при и .
Для пластины, которая свободно опирается краями при и , граничные условия: и . Обратите внимание, что на этих краях нет изменений смещения, что означает и , сводя, таким образом, моментное граничное условие к эквивалентному выражению .
Моменты на краях
Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В этом случае и функция должна удовлетворять уравнению . В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение выражается как
Подставляем выражение для в основное уравнение что приводит к[16]
или
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решение[17]
где константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, изгибное решение имеет вид
Выберем систему координат так, чтобы границы пластины находились на краях при и , при . Тогда граничные условия на моменты при
где известные функции. Решение можно найти, используя эти граничные условия. Можно показать, что для симметричного случая, когда
Используя симметричные и антисимметричные решения, можно составить более общие решения.
Опёртая пластина с равномерно распределенной нагрузкой
Для равномерно распределенной нагрузки
Отклонение опёртой пластины с центром при с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением[20]
Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражениями
Равномерная и симметричная моментная нагрузка
Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, при ,
Результирующий изгиб равен
где
Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению находятся по формулам
Напряжения
Изгиб цилиндрической пластины
Цилиндрический изгиб возникает, когда прямоугольная пластина имеющая размеры , где и малую толщину , подвергается равномерной распределенной нагрузке, перпендикулярной плоскости пластины. Такая пластина имеет форму поверхности цилиндра.
С помощью методов Навье и Леви также можно найти решения для свободно опёртых пластин при цилиндрическом изгибе с различным количеством незакреплённых краёв[21].
Изгиб толстых пластин Миндлина
Для толстых пластин необходимо учитывать влияние сдвиговых напряжений по толщине на ориентацию нормали к средней поверхности после деформации. Теория Миндлина предлагает единый подход к нахождению деформации и напряжений в таких пластинах. Решения теории Миндлина можно получить из эквивалентных решений Кирхгофа-Лява с использованием канонических соотношений[22].
Основные уравнения
Канонические уравнения для изотропных толстых пластин можно записать в виде[22]
где приложенная поперечная нагрузка, модуль сдвига, жесткость на изгиб, толщина пластины, , коэффициент поправки сдвигового напряжения, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и
Согласно теории Миндлина поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины и соответственные повороты нормали к средней поверхности относительно и -осей. Канонические параметры этой теории и . Коэффициент поправки сдвигового напряжения обычно принимают за .
Решения основных уравнений можно найти, если знать соответствующие решения Кирхгофа-Лява с помощью соотношений
где это смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа-Лява, бигармоническая функция такая, что , функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, и
Свободно опёртые прямоугольные пластины
Для свободно опертых пластин сумма моментов Маркуса равна нулю
В этом случае функции , , равны нулю, а решение Миндлина связано с соответствующим решением Кирхгофа соотношением
Теория Рейсснера-Штейна для консольных пластин[23] приводит к следующим связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям для консольной пластины с сосредоточенной нагрузкой на торце в точке .
и граничных условиях в точке
Решение этой системы двух ОДУ дает
где . Изгибные моменты и поперечные силы, соответствующие смещению
Напряжения
Если приложенная нагрузка на краю постоянна, мы восстанавливаем решения для балки при сосредоточенной торцевой нагрузке. Если приложенная нагрузка — линейная функция , то
Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция комплексного переменного , при , определяемая с помощью ряда Дирихле:
Когере́нтность — в физике скоррелированность (согласованность) нескольких колебательных или волновых процессов во времени, проявляющаяся при их сложении. Колебания когерентны, если разность их фаз постоянна во времени, и при сложении колебаний получается колебание той же частоты.
Эффект Шубникова — де Хааза назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.
Антидеси́ттеровское простра́нство — псевдориманово многообразие постоянной отрицательной кривизны. Его можно считать псевдоримановым аналогом -мерного гиперболического пространства. Названо как противопоставление пространству де Ситтера, обозначается обычно .
Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.
Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
Фо́рмула Пла́нка — формула, описывающая спектральную плотность излучения, которое создаётся абсолютно чёрным телом определённой температуры. Формула была открыта Максом Планком в 1900 году и названа по его фамилии. Её открытие сопровождалось появлением гипотезы о том, что энергия может принимать только дискретные значения. Эта гипотеза некоторое время после открытия не считалась значимой, но, как принято считать, дала рождение квантовой физике.
Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Теория потенциала — раздел математики и математической физики, посвящённый изучению свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов, зависящих от определённых параметров, называемых потенциалами.
Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:
В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:
Спонта́нное наруше́ние симме́три́и — способ нарушения симметрии физической системы, при котором исходное состояние и уравнения движения системы инвариантны относительно некоторых преобразований симметрии, но в процессе эволюции система переходит в состояние, для которого инвариантность относительно некоторых преобразований начальной симметрии нарушается. Спонтанное нарушение симметрии всегда связано с вырождением состояния с минимальной энергией, называемого вакуумом. Множество всех вакуумов имеет начальную симметрию, однако каждый вакуум в отдельности — нет. Например, шарик в жёлобе с двумя ямами скатывается из неустойчивого симметричного состояния в устойчивое состояние с минимальной энергией либо влево, либо вправо, разрушая при этом симметрию относительно изменения левого на правое.
Пропагатор в квантовой механике и квантовой теории поля (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля от одного акта взаимодействия до другого. Эта функция определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места пространства в другое за заданный промежуток времени или перемещения частицы с определённой энергией и импульсом. Для расчёта частоты столкновений в КТП используются виртуальные частицы, представленные в диаграммах Фейнмана пропагаторами, вносят свой вклад в вероятность рассеяния, описываемого соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как оператор, обратный волновому оператору, соответствующему частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина.
Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:
Пло́ская волна́ — волна, фронт которой плоский.
Виртуальная чёрная дыра — гипотетический объект квантовой гравитации: чёрная дыра, возникшая в результате квантовой флуктуации пространства-времени. Является одним из примеров так называемой квантовой пены и гравитационным аналогом виртуальных электрон-позитронных пар в квантовой электродинамике.
Теория изгиба балок Тимошенко была развита Степаном Прокофьевичем Тимошенко в начале XX века. Модель учитывает сдвиговую деформацию и вращательные изгибы, что делает её применимой для описания поведения толстых балок, сэндвич-панелей и высокочастотных колебаний балок, когда длина волны этих колебаний становится сравнимой с толщиной балки. В отличие от модели изгиба балок Эйлера-Бернулли модель Тимошенко приводит к уравнению четвертого порядка, которое также содержит и частные производные второго порядка. Физически учёт механизмов деформации эффективно снижает жёсткость балки и приводит к большему отклонению при статической нагрузке и к предсказанию меньших собственных частот для заданного набора граничных условий. Последнее следствие наиболее заметно для высоких частот, поскольку длина волны колебаний становится короче и расстояние между противоположно направленными сдвиговыми силами уменьшается.
Модель распространения технологий — трёхсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях монополистической конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного поведенческими факторами, а также возможность конвергенции, обусловленной распространением (заимствованием) технологий. В модели обосновано устойчивое различие в процентных ставках между развитыми и развивающимися странами. Разработана в 1995 году Робертом Барро и Хавьером Сала-и-Мартином.
Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическа модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.