Инверсия относительно сферы

Инверсия относительно сферы — это преобразование евклидова пространства, которое оставляет неподвижными точки сферы, переводя точки внутри сферы в точки вне сферы и наоборот. Инверсия есть конформное отображение^[1]^[2] и является базовой операцией в инверсивной геометрии^[англ.].

Определение

Инверсия относительно сферы проще всего описать с помощью полярных координат. Выберем систему аффинных координат так, чтобы центр сферы лежал в начале координат, а радиус сферы был равен 1. Тогда любая точка может быть записана в виде rv, где r есть расстояние от точки до начала координат, а v является единичным вектором. Для любой точки, отличной от начала координат, такое представление точки существует и единственно. Если дано такое представление точки, её образ при сферической инверсии определяется как точка r⁻¹v^[3]. Это определяет гомеоморфизм из $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ в себя. Как отображение евклидова пространства в себя, сферическая инверсия не определена в начале координат, но можно расширить её до ${\overline {\mathbb {R} ^{n}}}$ , одноточечного компактного расширения пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , если считать, что точка 0 отображается на бесконечность, а бесконечность отображается в 0. Тогда сферическую инверсию можно рассматривать как гомеоморфизм пространства ${\overline {\mathbb {R} ^{n}}}$ ^[4].

Будем называть (для краткости) центр сферы, относительно которой осуществляется инверсия, центром инверсии.

Свойства

Инверсия является инволюцией и оставляет неподвижными точки, лежащие на сфере^[3]. Инверсия прямой, не проходящей через центр инверсии, является окружностью, проходящей через центр инверсии и наоборот. Инверсия плоскости, не проходящей через центр инверсии, является сферой, проходящей через центр рассматриваемой сферы, и наоборот. В других случаях инверсия окружности является окружностью, а инверсия сферы является сферой^[5].

Инверсия относительно сферы является мощным преобразованием. Простым примером является проективное отображение.

Обычно проекция с северного или южного полюса является инверсией Земли на плоскость. Если вместо полюса использовать центр и мы выберем город, то инверсия даст карту, где каждый кратчайший маршрут (большие окружности) для перелёта появляется как прямые линии.

Результаты инверсии относительно сферы

Если некоторая точка A при инверсии отображается на точку B, то точка B при этом отображается на точку A.
Каждая точка на сфере инверсии отображается на саму себя.
Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя.
Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.
Инверсией окружности, проходящей через центр инверсии, будет прямая.
Инверсией окружности, не проходящей через центр инверсии, будет окружность.
Плоскость, проходящая через центр инверсии, переходит в себя.
Плоскость, не проходящая через центр инверсии, переходит в сферу, проходящую через центр инверсии.
Инверсией сферы, проходящей через центр инверсии, является плоскость.
Инверсией сферы, не проходящей через центр инверсии, является сфера.

См. также

Инверсивная геометрия^[англ.]
Инверсия кривой

Примечания

↑ Александров, Нецветаев, 2010, с. 331, Замечание 2.
↑ Жижилин, 2009, с. 17—19.
↑ ¹ ² Александров, Нецветаев, 2010, с. 330.
↑ Жижилин, 2009, с. 16—17, Теорема 1'.
↑ Александров, Нецветаев, 2010, с. 330, Теорема 4.

Литература

Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Санк-Петербург: «БХВ-Петербург», 2010. — ISBN 978-5-9775-0419-5.
Жижилин И. Д. Инверсия. — Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2009. — (Математическое просвещение). — ISBN 978-5-94057-448-4.