Интеграл Джексона

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — функция от вещественной переменной ${\displaystyle x}$. Интеграл Джексона для ${\displaystyle f}$ определяется как следующий ряд:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$

В случае, если ${\displaystyle g(x)}$ является другой функцией и ${\displaystyle D_{q}g}$ означает её ${\displaystyle q}$-производную, формально её можно записать:

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$ или:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

В результате получается ${\displaystyle q}$-аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида^[1]).

Если предположить, что ${\displaystyle 0<q<1}$ и если значение ${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$ ограничено на интервале ${\displaystyle [0,A)}$ для некоторого ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1,}$ то интеграл Джексона сходится к функции ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle [0,A)}$, которая является q-первообразной функции ${\displaystyle f(x)}$. Более того, ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle x=0}$ с ${\displaystyle F(0)=0}$ и является первообразной функции ${\displaystyle f(x)}$ в этом классе функций^[2].