Этот интеграл не является абсолютно сходящимся, что означает не интегрируется по Лебегу, и, соответственно, интеграл Дирихле не определен в соответствии с интегрированием Лебега. Однако он определяется в соответствии с несобственным интегралом Римана или обобщенного интеграла Римана или Хенстока — Курцвейла.[1][2] Значение интеграла (в соответствии с интегралом Римана или Хенстока) может быть получено различными способами, включая через преобразование Лапласа, двойное интегрирование, дифференцирование под знаком интеграла, контурное интегрирование и ядро Дирихле.
Свойство преобразования Лапласа, полезное для вычисления несобственных интегралов:
при условии, что существует.
Это свойство можно использовать для вычисления интеграла Дирихле следующим образом:
так как преобразование Лапласа функции . (См. дифференцирование в разделе «Дифференцирование под знаком интеграла».)
Двойное интегрирование
Вычисление интеграла Дирихле с помощью преобразования Лапласа эквивалентно попытке вычислить один и тот же дважды определенный интеграл двумя разными способами, изменив порядок интегрирования на противоположный, а именно:
при условии
Дифференцирование под знаком интеграла (трюк Фейнмана)
Сначала перепишем интеграл как функцию дополнительной переменной . Пусть
Чтобы вычислить интеграл Дирихле, нам необходимо определить .
Продифференцируем по и применим формулу Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла чтобы получить
Теперь, используя формулу Эйлера можно выразить синусоиду через комплексные экспоненциальные функции. Таким образом, мы имеем
Следовательно,
Интегрируя по дает
Где постоянная интегрирования, которую необходимо определить. Поскольку используя главное значение. Это означает
Наконец, для у нас есть , как прежде.
Комплексное интегрирование
Тот же результат может быть получен путем комплексного интегрирования. Рассмотрим
Как функция комплексной переменной оно имеет простой полюс в начале координат, что препятствует применению леммы Жордана, остальные условия которой выполнены.
Полюс был перемещен от реальной оси, поэтому интегрируется по полукругу радиуса в центре и замкнута по реальной оси. Затем берем предел .
Комплексный интеграл равен нулю по теореме о вычетах, так как внутри пути интегрирования нет полюсов.
Второй член исчезает, когда стремится к бесконечности. Что касается первого интеграла, то можно использовать одну версию теоремы Сохоцкого — Племеля для интегралов по вещественной прямой: для комплексной функции f, определенной и непрерывно дифференцируемой на вещественной прямой и вещественных константах и , зная можно найти
где обозначает главное значение Коши[англ.]. Возвращаясь к приведенному выше исходному расчету, можно написать
Взяв мнимую часть с обеих сторон и отметив, что функция четная, мы получаем
В заключение,
В качестве альтернативы можно выбрать в качестве контура интегрирования для объединение верхних полуплоских полуокружностей радиусов и вместе с двумя соединяющими их отрезками реальной линии. С одной стороны, контурный интеграл равен нулю независимо от и ; с другой стороны, при и мнимая часть интеграла сходится к ( — любая ветвь логарифма на верхней полуплоскости), приводящий к .
Ясно, что является непрерывной, когда , чтобы увидеть её непрерывность при 0, применяется правило Лопиталя.
Следовательно, удовлетворяет требованиям леммы Римана-Лебега[англ.]. Это означает
(Используемая здесь форма леммы Римана-Лебега доказана в цитируемой статье.)
Выбираем пределы и . Мы хотим сказать что
Однако для этого мы должны обосновать переключение реального предела в на интегральный предел в . На самом деле это оправдано, если мы можем показать, что предел действительно существует. Докажем это.
Сначала мы стремимся оценить интеграл вблизи начала координат. Используя разложение косинуса около нуля в ряд Тейлора,
Следовательно,
Разбив интеграл на части, получим
для некоторой константы . Это показывает, что интеграл абсолютно интегрируем, что означает, что исходный интеграл существует, и переход от к был фактически оправдан, и доказательство завершено.
Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.
Эффект Шубникова — де Хааза назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.
Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.
Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.
Кардина́льный си́нус, sinc — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:
В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
В математике ненормированная функция sinc определяется как
Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
Фо́рмула Пла́нка — формула, описывающая спектральную плотность излучения, которое создаётся абсолютно чёрным телом определённой температуры. Формула была открыта Максом Планком в 1900 году и названа по его фамилии. Её открытие сопровождалось появлением гипотезы о том, что энергия может принимать только дискретные значения. Эта гипотеза некоторое время после открытия не считалась значимой, но, как принято считать, дала рождение квантовой физике.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции функцию в той же области.
Интегралы ФренеляS(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как
Соотноше́ния Кра́мерса — Кро́нига — интегральная связь между действительной и мнимой частями любой комплексной функции, аналитичной в верхней полуплоскости. Часто используются в физике для описания связи действительной и мнимой частей функции отклика физической системы, поскольку аналитичность функции отклика подразумевает, что система удовлетворяет принципу причинности, и наоборот. В частности, соотношения Крамерса — Кронига выражают связь между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости в классической электродинамике и амплитуды вероятности перехода между двумя состояниями в квантовой теории поля. В математике соотношения Крамерса — Кронига известны как преобразование Гильберта.
Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда
Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.
Преобразование Хартли — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.
Теорема Сохоцкого — Племеля — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определенных интегралов. Версия для вещественной прямой часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Иосифа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.
В математике тригонометрическая подстановка — это подстановка из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка — это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальное выражение. Как и другие методы интегрирования путём подстановки, при вычислении определённого интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.
Почти периодическая функция — это функция на множестве вещественных чисел, которая периодична с любой желаемой точностью, если заданы достаточно большие равномерно распределённые «почти периоды». Концепцию первым изучал Харальд Бор и её впоследствии обобщили, среди прочих, Вячеслав Васильевич Степанов, Герман Вейль и Абрам Самойлович Безикович. Есть также понятие почти периодических функций на локально компактных абелевых группах, которое первым изучал Джон фон Нейман.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.