Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Ри́мана — Сти́лтьеса^[1] — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Т. И. Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}}$

рассматривается предел сумм вида

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},}$

где интегрирующая функция ${\displaystyle j(x)}$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)^[2]. Если ${\displaystyle j(x)}$ непрерывно дифференцируема, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx}$ (если последний существует).

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — Стилтьеса^[3], всякая абсолютно монотонная при ${\displaystyle x<0}$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — Стилтьеса^[4], всякая аналитическая функция в круге ${\displaystyle |z|<1}$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — Стилтьеса^[5].

• Рудин, У. Основы математического анализа . — М.: Мир, 1976.
• Шилов, Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.