Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие равенства

для неопределённого интеграла

${\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$

или в другой записи

${\displaystyle \int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx}$

для определённого интеграла

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}$

Предполагается, что нахождение интеграла ${\displaystyle \int v\,du}$ проще, чем ${\displaystyle \int u\,dv}$. В противном случае применение метода не оправдано.

Функции ${\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}$ и ${\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}$ гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

${\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}$

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

${\displaystyle \int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv}$

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

${\displaystyle u\,v=\int v\,du+\int u\,dv}$

После перестановок:

${\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}}$

Отсюда «следствие»: ${\displaystyle 0=1}$, что очевидно неверно.

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

${\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}$

Данные формулы справедливы, если каждая из функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ непрерывно дифференцируема на области интегрирования.

Основной процесс приведённой выше формулы может быть обобщено в таблице.

Например, рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$ ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

Начнем перечислять в столбце D функцию ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ и ее последующие производные ${\displaystyle u^{(i)}}$ до тех пор, пока не будет получен 0. Затем, перечисляем в столбце I функцию ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ и ее последующие первообразные ${\displaystyle v^{(n-i)}}$ до тех пор, пока размер столбца I не будет таким же, как и в столбце D. Результат выглядит следующим образом:

# i	Знак	D: производные u(i)	I: интегралы v(n−i)
0	+	${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	−	${\displaystyle 3x^{2}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle -\cos x}$
3	−	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -\sin x}$
4	+	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \cos x}$

Произведение значений в ряду i столбцов D и I вместе с соответствующим им знаком выдают соответствующие интегралы на шаге i в течение повторяющихся шагов интегрирования по частям. Шаг i = 0 несет в себе исходный интеграл. для полного результата в шаге i > 0 i-й интеграл должен быть добавлен к предыдущим произведениям(0 ≤ j < i) j-го значения столбца D и (j + 1)-го значения столбца I (т.е., умножить 1-е значение столбца D на 2-е значение столбца I, 2-е значение столбца D на 3-е значение столбца I, и т.д. ...) не забывая о j-м знаке. Процесс завершается, когда произведение, которое несет в себе интеграл, принимает значение 0 (i = 4 в нашем примере). Конечный результат следующий: (включая разные знаки в каждом сегменте):

${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$

В итоге:

${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{шаг 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$

• ${\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}$
• Иногда этот метод применяется несколько раз:

${\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}$

${\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}$

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

${\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}$

${\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}$

${\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}$

${\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}$

Таким образом один интеграл выражается через другой:

${\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}$

Решив полученную систему, получаем:

${\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}$

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а вместо производной − частная производная.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ открытое ограниченное подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с кусочно-гладкой границей ${\displaystyle \partial \Omega }$. Если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ гладкие функции на замыкании ${\displaystyle \Omega }$, то

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}$

где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ − внешняя нормаль к ${\displaystyle \partial \Omega }$, а ${\displaystyle n_{i}}$ − её i-ая координата, i от 1 до n, ${\displaystyle \sigma }$ - мера на ${\displaystyle \partial \Omega }$.

• Интеграл
• Интеграл Римана
• Преобразование Лежандра
• Методы интегрирования
• Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.

• Маслов А. П., Белоус Е. А. Тема 5.2 // Математика для инженеров (2 курс).
• Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. — М.—Лен.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — С. 37—42.

Также см. Математический анализ#Библиография.

• Математика для заочников и не только  (неопр.). Дата обращения: 11 мая 2011.
• Канал СЗТУ на сайте youtube.com  (неопр.). Дата обращения: 11 мая 2011.