Итерационная формула Герона

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$,

где a — фиксированное положительное число, а ${\displaystyle x_{1}}$ — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе ${\displaystyle x_{1}}$ быстро сходится к величине ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ (квадратный корень из числа), то есть

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения ${\displaystyle a-x^{2}=0}$.

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения ${\displaystyle {\sqrt {25}}}$ будет значение 3.

n	${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$	Приблизительное значение ${\displaystyle x_{n+1}}$
1	3	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(3+8.33)={\frac {1}{2}}\cdot 11.33\approx 5.67}$
2	5.67	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5.67+4.41)={\frac {1}{2}}\cdot 10.08=5.04}$
3	5.04	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5.04+4.96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5}$
4	5	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5}$

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

• Ancient Square Roots
• Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures