Качающийся факториал

Качающийся факториал (англ. swinging factorial) — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел $\mathbb {Z} ^{+}$ . Обозначается $n\wr$ , произносится эн качающийся факториа́л.

Качающийся факториал натурального числа $n$ определяется следующей формулой:

$n\wr ={\frac {n!}{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor !^{2}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}i}{\left\lfloor \prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}i\right\rfloor ^{2}}}$

Данная дробь всегда будет целым числом по простой причине — она кратна биномиальному коэффициенту ${\binom {n}{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}$ , который равен в точности ${\frac {n!}{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor !\cdot \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil !}}$ .

Из первой формулы можем получить новое определение факториала натурального числа $n$ :

$n!=n\wr \lfloor n/2\rfloor !^{2}$

Качающийся факториал назван именно так из-за его графика функции, напоминающий функцию качения.^[1]

Разложение на простые множители

Пусть ${\mathcal {P}}_{p}(n\wr )$ — степень простого числа $p$ в примарном разложении качающегося факториала, тогда будет справедлива следующая формула: ${\mathcal {P}}_{p}(n\wr )=\sum _{i\geq 1}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \mod {2}$

Доказательство (предложено здесь)

Последовательность качающегося факториала в OEIS

Последовательность качающегося факториала в Онлайн-Энциклопедии целочисленных последовательностей указана под кодировкой A056040^[2].

Ниже приведены первые 10 значений функции качающегося факториала:

Значения факториала (OEIS A056040)
$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
$n\wr$	1	1	2	6	6	30	20	140	70	630	252	2772	924	12012	3432	51480	12870	218790	48620	923780	124756	3879876	705432	16224936	2704156

См. также

Список литературы

↑ Peter Luschny. A new kind of factorial function (англ.). Архивировано 20 марта 2022 года.
↑ A056040 - OEIS (неопр.). oeis.org. Дата обращения: 29 мая 2020. Архивировано 4 мая 2020 года.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Факторизация целых чисел</span> Разложение натурального числа на простые множители

Факториза́цией натурального числа называется его разложение в произведение простых множителей. Существование и единственность такого разложения следует из основной теоремы арифметики.

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается $\text{[math]}$ , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа $\text{[math]}$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $\text{[math]}$ включительно:

\text{[math]}

В математике, целая часть вещественного числа $\text{[math]}$ — округление $\text{[math]}$ до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье, или пол. Наряду с полом существует парная функция — потолок — округление $\text{[math]}$ до ближайшего целого в большую сторону.

Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что для любого натурального $\text{[math]}$ найдётся простое число $\text{[math]}$ в интервале $\text{[math]}$

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Функция Эйлера</span> мультипликативная арифметическая функция

Фу́нкция Э́йлера $\text{[math]}$ — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших либо равных $\text{[math]}$ и взаимно простых с ним.

Ряды Фарея — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.

Праймориал, примориал — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.

Субфакториал — количество беспорядков заданного числа, то есть перестановок заданного порядка без неподвижных точек — по аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок. Стандартное обозначение — $\text{[math]}$ .

Алгоритм Лемана детерминировано раскладывает данное натуральное число $\text{[math]}$ на множители за $\text{[math]}$ арифметических операций. Алгоритм был впервые предложен американским математиком Шерманом Леманом в 1974 году. Данный алгоритм был первым детерминированным алгоритмом факторизации целых чисел, имеющим оценку меньшую, чем $\text{[math]}$ . В настоящий момент носит чисто исторический интерес и, как правило, не используется на практике.

В математике свободным от квадратов, или бесквадратным, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 — свободное от квадратов, а 18 — нет, так как 18 делится на 9 = 3². Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … последовательность A005117 в OEIS

<span class="mw-page-title-main">Функция распределения простых чисел</span>

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция $\text{[math]}$ , — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается $\text{[math]}$ .

Теорема Евклида — основной элемент теории чисел. Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список.

В математике таблица Витхоффа — бесконечная целочисленная матрица, полученная из последовательности Фибоначчи и названная в честь голландского математика Виллема Абрахама Витхоффа. Была определена математиком Моррисоном в 1980 году на основе пар Витхоффа, координат выигрышных позиций в игре Витхоффа; может также быть определена с помощью чисел Фибоначчи и теоремы Цекендорфа или непосредственно через золотое сечение и рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи. Каждое положительное целое число встречается в таблице ровно один раз, и путём сдвига строк таблицы можно получить любую целочисленную последовательность, определяемую рекуррентным соотношением Фибоначчи.

Целочисленный квадратный корень (isqrt) натурального числа n — это положительное число m, которое равно наибольшему целому числу, меньшему либо равному квадратному корню из n,

\text{[math]}

Убывающий факториал записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

\text{[math]}

Множество больших тригонометрических сумм — понятие теории чисел — множество индексов, в которых преобразование Фурье характеристической функции заданного подмножества группы принимает достаточно большие значения.

Дедекиндово число — число $\text{[math]}$ , равное количеству монотонных булевых функций от $\text{[math]}$ переменных. Эквивалентные определения: число антицепей подмножеств $\text{[math]}$ -элементного множества; число элементов в свободной дистрибутивной решётке с $\text{[math]}$ производящими; число абстрактных симплициальных комплексов с $\text{[math]}$ элементами.

Однородная последовательность Битти — последовательность целых чисел, являющихся целыми частями от положительных чисел, кратных положительному иррациональному числу. Последовательности Битти названы в честь Сэмюэля Битти, написавшего о них в 1926 году. Последовательности Битти также могут быть использованы для генерации последовательностей Штурма.

<span class="mw-page-title-main">Весьма суперсоставное число</span>

В математике весьма суперсоставное число — это натуральное число, которое имеет больше делителей, чем любое другое число, масштабируемое относительно некоторой положительной степени самого числа. Это более сильное ограничение, чем ограничение сверхсоставного числа, которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.