Квантовая плоскость

Определение

Пусть $q$ — обратимый элемент поля $\mathbb {K}$ , $I_{q}$ — двусторонний идеал свободной алгебры $\mathbb {K} \{x,y\}$ , порождённый элементом $yx-qxy$ .

Квантовой плоскостью называется фактор-алгебра $\mathbb {K} _{q}[x,y]=\mathbb {K} \{x,y\}/I_{q}$ .

Пусть $R$ — алгебра над полем $\mathbb {K}$ . Тогда пара $(X,Y)$ элементов из $R$ , удовлетворяющая соотношению $YX=qXY$ называется R-точкой квантовой плоскости. Имеет место естественная биекция

$Hom_{Alg}(\mathbb {K} _{q}[x,y],R)\cong \{(X,Y)\in R\times R:YX=qX\}$ .

Свойства

Пусть $\alpha$ — автоморфизм алгебры многочленов $\mathbb {K} [x]$ , т.ч. $\alpha (x)=qx$ . Тогда алгебра $\mathbb {K} _{q}[x,y]$ изоморфна расширению Оре $\mathbb {K} [x][y,\alpha ,0]$ .
Пусть $x$ и $y$ — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости $yx=qxy$ . Для $n\in \mathbb {N}$ положим $(n)_{q}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ . Определим q-факториал числа $n$ , полагая $(0)!_{q}=1,{\text{ }}(n!)_{q}=(q)_{1}(2)_{q}...(n)_{q}={\frac {(q-1)(q^{2}-1)...(q^{n}-1)}{(q-1)^{n}}}$ . Определим многочлен Гаусса для $0\leq k\leq n$ по формуле ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}_{q}={\frac {(n)!_{q}}{(k!)_{q}(n-k)!_{q}}}$ . Тогда выполняется равенство: $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}_{q}x^{k}y^{n-k}$ .

Примеры

Пусть $M(2)$ — алгебра матриц $2\times 2$ , $x$ и $y$ — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости $yx=qxy$ , $a,b,c,d$ — переменные, коммутирующие с $x$ и $y$ . Определим $x',y',x'',y''$ матричными соотношениями: ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\text{ и }}{\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ . Тогда можно показать эквивалентность между двумя соотношениями квантовой плоскости $y'x'=qx'y'{\text{ и }}y''x''=qx''y''$ и шестью соотношениями $ba=qab,{\text{ }}ca=qac,{\text{ }}bc=cb,$ $db=qbd,{\text{ }}dc=qcd,{\text{ }}ad-da=(q^{-1}-q)bc$ . Определим алгебру $M_{q}(2)$ как фактор-алгебру свободной алгебры $\mathbb {K} \{a,b,c,d\}$ по двустороннему идеалу $J_{q}$ , порождённому шестью соотношениями выше. Построенная алгебра $M_{q}(2)$ является q-аналогом алгебры $M(2)$ .

Литература

Кассель К. «Квантовые группы».

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нулевому вектору.

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — вещественные числа, а $\text{[math]}$ — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел $\text{[math]}$ . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид $\text{[math]}$ . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

\text{[math]}

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости, являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ .

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Спино́р — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве $\text{[math]}$ называется всякая функция $\text{[math]}$ , имеющая в векторизованной форме вид $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — симметричная матрица, $\text{[math]}$ — линейная функция, $\text{[math]}$ — константа.

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Бетатронные колебания — быстрые поперечные колебания, совершаемые частицей в фокусирующих магнитных полях ускорителя. Бетатронные колебания — основной предмет изучения электронной оптики, раздела физики ускорителей.

Метод квадратичных форм Шенкса — метод факторизации целых чисел, основанный на применении квадратичных форм, разработанный Даниелем Шенксом в 1975 году, как развитие метода факторизации Ферма.

<span class="mw-page-title-main">Группа Гейзенберга</span>

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида

\text{[math]}

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается $\text{[math]}$ . Две матрицы p и q в $\text{[math]}$ имеют сумму $\text{[math]}$ , определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

\text{[math]}

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Идеальная решётка — определённая математическая структура, которая используется для уменьшения числа параметров, необходимых для описания решёток. Данный вид решёток часто встречается во многих областях математики, в частности, в разделе теории чисел. Таким образом идеальные решётки более эффективны в применении, чем другие решётки, применяющихся в криптографии. Идеальные решётки используются в криптографических системах с открытым ключом NTRUEncrypt и NTRUSign для построения эффективных криптографических примитивов. Также идеальные решётки составляют фундаментальную основу квантовой криптографии, которая защищает от атак, связанных с квантовыми компьютерами.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.