Кольцо Безу

Перейти к навигации Перейти к поиску

Кольцо Безу (названное по имени французского математика Этьена Безу) — это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что кольцо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно кольцо главных идеалов, обобщением которых кольца Безу и являются.

Целостное кольцо является кольцом Безу тогда и только тогда, когда в этом кольце любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД), представимый в виде их линейной комбинации. (Это условие означает, что каждый идеал с двумя образующими допускает одну образующую, из чего по индукции выводится, что каждый конечнопорождённый идеал является главным.) Представление НОДа двух элементов их линейной комбинацией часто называют тождеством Безу.

Свойства

Для кольца Безу R следующие условия эквивалентны:

R — кольцо главных идеалов.
R — нётерово.
R — область с однозначным разложением (факториальное кольцо).
R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек главных идеалов.
Всякий элемент R разложим в произведение неприводимых элементов.

Как и для колец главных идеалов, для колец Безу любой конечнопорождённый модуль над ними является прямой суммой свободного модуля и модуля кручения. Кроме того, любое кольцо Безу целозамкнуто, и любая локализация кольца Безу также является кольцом Безу.

Примеры

Примеры не нётеровых колец Безу:

(Helmer, 1940) Кольцо функций, голоморфных на всей комплексной плоскости.
Кольцо всех целых алгебраических чисел.

Литература

Безу кольцо // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
Cohn, P. M. Bezout rings and their subrings (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc.. — 1968. — Vol. 64. — P. 251–264.

Похожие исследовательские статьи

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.

Нильпотентный идеал — идеал $\text{[math]}$ кольца $\text{[math]}$ , для которого существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ , то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что произведение любых $\text{[math]}$ элементов идеала $\text{[math]}$ равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая некоммутативных колец.

Конечнопорождённым мо́дулем $\text{[math]}$ над ассоциативным кольцом $\text{[math]}$ называется такой модуль, который порождается конечным числом своих элементов. Например, для правого модуля это означает, что существует конечное множество элементов $\text{[math]}$ таких, что любой элемент из $\text{[math]}$ представим в виде суммы $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — какие-то элементы кольца $\text{[math]}$ .

Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Нётеров мо́дуль — это модуль, в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей, упорядоченных по отношению включения.

А́ртиново кольцо́ — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов $\text{[math]}$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $\text{[math]}$

\text{[math]}

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе — одна из основных теорем о нётеровых кольцах:

Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также нётерово.

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности.

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов является обобщением теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Целый элемент — элемент заданного коммутативного кольца с единицей $\text{[math]}$ относительно подкольца $\text{[math]}$ , являющийся корнем приведённого многочлена с коэффициентами в $\text{[math]}$ , то есть такой $\text{[math]}$ , для которого существуют коэффициенты $\text{[math]}$ , такие что:

\text{[math]}

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.

Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.